Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
{arctg(n)}_{n=1}^{+\infty}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente usar diferenciação para mostrar se a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo. A gente vai precisar saber sobre derivadas e como elas ajudam a entender se uma função está crescendo ou decrescendo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma sequência pode ser vista como uma função discreta, onde cada termo corresponde a um valor específico. No nosso caso, a sequência é para .

Passo 3

Para usar a diferenciação, vamos considerar a função contínua . Se a derivada dessa função for positiva para todo x no domínio, então a função (e assim a sequência) está sempre aumentando.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . A derivada de arctan é:

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal dessa derivada. O denominador é sempre positivo para qualquer valor real de x, já que . Portanto:

Passo 6

Como a derivada é sempre positiva, isso significa que a função é estritamente crescente em todo o seu domínio. Logo, cada termo da sequência é maior que o anterior.

Resposta

A sequência é estritamente crescente.

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