Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente usar diferenciação para mostrar se a sequência
está sempre aumentando ou sempre diminuindo. A gente vai precisar saber sobre derivadas e como elas ajudam a entender se uma função está crescendo ou decrescendo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma sequência pode ser vista como uma função discreta, onde cada termo corresponde a um valor específico. No nosso caso, a sequência é
para
.
Passo 3
Para usar a diferenciação, vamos considerar a função contínua
. Se a derivada dessa função for positiva para todo
no domínio, então a função (e assim a sequência) está sempre aumentando.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de arctan é:
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal dessa derivada. O denominador
é sempre positivo para qualquer valor real de
, já que
. Portanto:
Passo 6
Como a derivada
é sempre positiva, isso significa que a função
é estritamente crescente em todo o seu domínio. Logo, cada termo da sequência
é maior que o anterior.
Resposta
A sequência
é estritamente crescente.