Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
Se
divergir, então
ou
.
Se
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. A questão afirma que se a sequência
divergir, então o limite quando
tende ao infinito de
é
ou
. Aqui, estamos lidando com sequences e seus limites, que são conceitos fundamentais em cálculo e análise matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa uma sequência divergir. Uma sequência diverge quando não converge para um número real específico. Ou seja, ela não se aproxima de nenhum valor fixo à medida que os termos aumentam. Porém, divergência não significa necessariamente que os termos vão para
ou
; pode também significar que os termos não têm um limite definido ou que os termos continuam oscilando sem se estabilizar.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que o enunciado está dizendo. Ele afirma que se a sequência divergir, então o seu limite deve ser
ou
. Isso sugere que todas as sequências divergentes tendem para algum infinito, positivo ou negativo.
Passo 4
Para verificar a veracidade dessa afirmação, vamos considerar uma sequência que diverge, mas cujo limite não é nem
nem
. Por exemplo, considere a sequência
. Essa sequência alterna entre
e
para cada termo subsequente.
Passo 5
Analisando essa sequência, vemos que ela não se aproxima de nenhum número específico conforme
aumenta. Em vez disso, ela continua oscilando entre
e
indefinidamente. Portanto, essa sequência diverge, mas não tem um limite que seja
ou
.
Resposta
A afirmação é falsa, pois existem sequências que divergem sem que seus limites sejam
ou
.