Resolva as integrais impróprias abaixo:

Passo 1

Beleza, então a gente tem que resolver a integral de em relação a , certo? Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar identificar quais partes da função vão ser e para aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Então, precisamos escolher qual parte da nossa função vai ser e qual vai ser . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar.

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, vamos derivar e integrar .

Passo 4

Derivando :
E integrando :

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a integral que ficou:
Para resolver isso, fazemos a divisão polinomial de por .

Passo 7

Dividindo por :
Então:
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 8

Integrando cada termo:
Simplificando:

Passo 9

Voltando à expressão original:
Simplificando tudo junto:

Passo 10

Agrupando os termos semelhantes:

Resposta

A integral de é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva as integrais impróprias abaixo:
Considere a função definida por .
Determine a função primitiva de ;
Determine as integrais definidas:
Considere a função definida por .
Encontre a derivada de com relação a ;