Resolva as integrais impróprias abaixo:
integral t ln (t+1) d t

Passo 1

Beleza, então a gente tem que resolver a integral de em relação a , certo? Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar identificar quais partes da função vão ser e para aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, precisamos escolher qual parte da nossa função vai ser e qual vai ser . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln(t+1) e dv = t , dt
Agora, vamos derivar e integrar .

Passo 4

Derivando du = 1t+1 , dt :
v = integral t , dt = t^22
E integrando :

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral t ln(t+1) , dt = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln(t+1) cdot t^22 - integral t^22 cdot 1t+1 , dt

Passo 6

Vamos simplificar a integral que ficou:
integral t^22(t+1) , dt = 12 integral t^2t+1 , dt
Para resolver isso, fazemos a divisão polinomial de por .

Passo 7

Dividindo t^2 div (t+1) = t - 1 + 1t+1 por t^2t+1 = t - 1 + 1t+1 :
Então:
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 8

Integrando cada termo:
12 integral (t - 1 + 1t+1) , dt = 12 ( t^22 - t + ln|t+1| ) + C
Simplificando:
= t^24 - t2 + 12 ln(t+1) + C

Passo 9

Voltando à expressão original:
integral t ln(t+1) , dt = t^22 ln(t+1) - ( t^24 - t2 + 12 ln(t+1) ) + C
Simplificando tudo junto:
= t^22 ln(t+1) - t^24 + t2 - 12 ln(t+1) + C

Passo 10

Agrupando os termos semelhantes:
( t^22 - 12 ) ln(t+1) - t^24 + t2 + C

Resposta

A integral de integral t ln(t+1) , dt = ( t^22 - 12 ) ln(t+1) - t^24 + t2 + C é:
onde é a constante de integração.

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