Resolva as integrais impróprias abaixo:
Passo 1
Beleza, então a gente tem que resolver a integral de
em relação a
, certo? Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar identificar quais partes da função vão ser
e
para aplicar essa técnica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Então, precisamos escolher qual parte da nossa função vai ser
e qual vai ser
. Geralmente, escolhemos
como a parte que fica mais simples ao derivar.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, vamos derivar
e integrar
.
Passo 4
Derivando
:
E integrando
:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a integral que ficou:
Para resolver isso, fazemos a divisão polinomial de
por
.
Passo 7
Dividindo
por
:
Então:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 8
Integrando cada termo:
Simplificando:
Passo 9
Voltando à expressão original:
Simplificando tudo junto:
Passo 10
Agrupando os termos semelhantes:
Resposta
A integral de
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais impróprias abaixo:
Considere a função
definida por
.
Determine a função primitiva de ;
Determine a função primitiva de
Determine as integrais definidas:
Considere a função
definida por
.
Encontre a derivada de com relação a
;
Encontre a derivada de