Considere a função
. Determine:
Concavidade e Pontos de Inflexão;
Concavidade e Pontos de Inflexão;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a concavidade da função
e encontrar os pontos de inflexão. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente relacionado às derivadas da função. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo.
A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função, ou seja, se ela está “sorrindo” ou “chorando”.
Derivando a primeira derivada:
Passo 4
Com a segunda derivada em mãos, vamos analisar a concavidade da função:
- Se
, a função é côncava para cima (sorrindo). - Se
, a função é côncava para baixo (chorando).
Então, vamos resolver
para entender onde a concavidade muda:
- Quando
, : concavidade para cima. - Quando
, : concavidade para baixo.
Passo 5
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos ver onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada é zero ou não existe.
Resolvendo
:
Passo 6
Agora, vamos confirmar se
é realmente um ponto de inflexão, verificando se há mudança na concavidade:
- Para
, a concavidade é para baixo. - Para
, a concavidade é para cima.
Como a concavidade muda de baixo para cima passando por
, esse ponto é um ponto de inflexão.
Resposta
A função
é côncava para baixo quando
e côncava para cima quando
. Além disso, ela possui um ponto de inflexão em
.
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onde
é igual a:
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