Considere a função . Determine:
Concavidade e Pontos de Inflexão;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente relacionado às derivadas da função. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo.
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função, ou seja, se ela está “sorrindo” ou “chorando”.
Derivando a primeira derivada:

Passo 4

Com a segunda derivada em mãos, vamos analisar a concavidade da função:
  • Se , a função é côncava para cima (sorrindo).
  • Se , a função é côncava para baixo (chorando).
Então, vamos resolver para entender onde a concavidade muda:
  • Quando , : concavidade para cima.
  • Quando , : concavidade para baixo.

Passo 5

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos ver onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada é zero ou não existe.
Resolvendo :

Passo 6

Agora, vamos confirmar se é realmente um ponto de inflexão, verificando se há mudança na concavidade:
  • Para , a concavidade é para baixo.
  • Para , a concavidade é para cima.
Como a concavidade muda de baixo para cima passando por , esse ponto é um ponto de inflexão.

Resposta

A função é côncava para baixo quando e côncava para cima quando . Além disso, ela possui um ponto de inflexão em .

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