Considere a função
. Encontre o domínio e a imagem de
. Em seguida faça um esboço do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir duas coisas: o domínio e a imagem dessa função. Depois disso, vamos fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, que envolvem entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de funções polinomiais, como essa, não há restrições: você pode colocar qualquer número real no lugar de
e obter um valor válido. Portanto, o domínio de
é todos os números reais.
Matematicamente:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que
pode assumir. Nossa função é uma função quadrática com o termo de
negativo (
), o que significa que o gráfico é uma parábola que abre para baixo. O ponto mais alto dessa parábola será o máximo da imagem.
Passo 4
Para encontrar o valor máximo, identificamos o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada
do vértice em uma função quadrática
é:
Aqui,
e
. Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor de
no vértice para descobrir o valor máximo da imagem. Substituímos
na função:
Então, o valor máximo que
atinge é
.
Passo 6
Como a parábola abre para baixo e o valor máximo é
, a imagem da função é todos os números reais menores ou iguais a
.
Matematicamente:
Passo 7
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que é uma parábola que abre para baixo, com o vértice em
. Podemos calcular alguns pontos adicionais substituindo valores de
na função para ter mais referências no desenho.
Resposta
O domínio de
é todos os números reais (
) e a imagem é
. O gráfico de
é uma parábola que abre para baixo com vértice em
.
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. Calcule
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Calcule: