Considere a função . Encontre o domínio e a imagem de . Em seguida faça um esboço do gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir duas coisas: o domínio e a imagem dessa função. Depois disso, vamos fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, que envolvem entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de funções polinomiais, como essa, não há restrições: você pode colocar qualquer número real no lugar de e obter um valor válido. Portanto, o domínio de é todos os números reais.
Matematicamente:
í

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que pode assumir. Nossa função é uma função quadrática com o termo de negativo ( ), o que significa que o gráfico é uma parábola que abre para baixo. O ponto mais alto dessa parábola será o máximo da imagem.

Passo 4

Para encontrar o valor máximo, identificamos o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada do vértice em uma função quadrática é:
Aqui, e . Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de no vértice para descobrir o valor máximo da imagem. Substituímos na função:
Então, o valor máximo que atinge é .

Passo 6

Como a parábola abre para baixo e o valor máximo é , a imagem da função é todos os números reais menores ou iguais a .
Matematicamente:

Passo 7

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função . Sabemos que é uma parábola que abre para baixo, com o vértice em . Podemos calcular alguns pontos adicionais substituindo valores de na função para ter mais referências no desenho.

Resposta

O domínio de é todos os números reais ( ) e a imagem é . O gráfico de é uma parábola que abre para baixo com vértice em .

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