Considere a função f(x)=x^3 nos itens a seguir.
b) (1.5 ponto) A integral integral-infty^infty f(x) d x é convergente?
Justifique suas respostas.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos a função e precisamos verificar se a integral é convergente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e convergência.

Passo 2

Primeiro, entendemos que integral-infty^infty x^3 dx = integral-infty^0 x^3 dx + integral0^infty x^3 dx é uma integral imprópria, pois os limites de integração vão ao infinito. Para avaliar a convergência, dividimos a integral em duas partes:

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente. Começando por integral0^infty x^3 dx = limA to infty integral0^A x^3 dx = limA to infty [ x^44 ]0^A = limA to infty ( A^44 - 0 ) = infty :

Passo 4

Agora, calculamos integral-infty^0 x^3 dx = limB to -infty integralB^0 x^3 dx = limB to -infty [ x^44 ]B^0 = limB to -infty ( 0 - B^44 ) = -infty :

Passo 5

Observamos que uma parte da integral tende para e a outra para . Mesmo que essas contribuições possam se cancelar em alguns casos, neste caso específico, a integral total não converge para um valor finito.

Resposta

A integral não é convergente.

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