Questão 4. (2.5 pontos) Calcule o volume V do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z = y^2 - x^2 + 1 e acima do retângulo R = [-1, 2] x [0, 2], usando integral. Justifique.

Passo 1

Beleza, então a gente precisa calcular o volume V do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico e acima do retângulo . Para isso, vamos usar integrais duplas, que são ótimas para encontrar volumes em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O retângulo significa que x varia de -1 a e y varia de 0 a . O volume V será a integral dupla da função sobre essa região.

Passo 3

Vamos montar a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a x:
Calculando nos limites:
Para x = 2:
Para :
Subtraindo:
Agora, integramos em relação a y:

Resposta

O volume V é igual a unidades cúbicas.

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