Questão 3. (2.5 pontos) Calcule a integral integral 3 x raizx^2+1 d x, usando a Regra da Substituição. Justifique.

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte questão: calcular a integral usando a Regra da Substituição. Esse problema está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais envolvendo funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em integrais mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável. Olhando para a integral u = x^2 + 1 , percebemos que dentro da raiz temos . Vamos chamar essa expressão de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para substituir x , dx = du2 na integral. Calculando:
Isso significa que:
Para isolar , dividimos ambos os lados por 2:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Temos:
integral 3x raizx^2+1 , dx = integral 3 raizu cdot du2
Simplificando os coeficientes:
= 32 integral raizu , du

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral u^1/2 , du = u^3/23/2 = 23 u^3/2 . Sabemos que , e a integral de é . Então:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
32 integral raizu , du = 32 cdot 23 u^3/2 = u^3/2
Agora, substituímos u^3/2 = (x^2 + 1)^3/2 de volta por :

Resposta

Portanto, a integral é igual a , onde é a constante de integração.

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