Questão 3. (2.5 pontos) Calcule a integral , usando a Regra da Substituição. Justifique.

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte questão: calcular a integral usando a Regra da Substituição. Esse problema está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais envolvendo funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em integrais mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável. Olhando para a integral , percebemos que dentro da raiz temos . Vamos chamar essa expressão de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando:
Isso significa que:
Para isolar , dividimos ambos os lados por 2:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Temos:
Simplificando os coeficientes:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . Sabemos que , e a integral de é . Então:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
Agora, substituímos de volta por :

Resposta

Portanto, a integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Questão 4. (2.5 pontos) Calcule o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico e acima do retângulo , usando integral. Justifique.
Considere a função nos itens a seguir.
b) (1.5 ponto) A integral é convergente?
Justifique suas respostas.
Determine e sendo que
Suponha que a função admita derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio e que seja dada implicitamente pela equação . Expresse e em termos de .