Questão 3. (2.5 pontos) Calcule a integral
, usando a Regra da Substituição. Justifique.
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte questão: calcular a integral
usando a Regra da Substituição. Esse problema está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais envolvendo funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em integrais mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável. Olhando para a integral
, percebemos que dentro da raiz temos
. Vamos chamar essa expressão de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Calculando:
Isso significa que:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por 2:
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Temos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Sabemos que
, e a integral de
é
. Então:
Passo 6
Voltando à nossa expressão anterior:
Agora, substituímos
de volta por
:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Questão 4. (2.5 pontos) Calcule o volume
do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico
e acima do retângulo
, usando integral. Justifique.
Considere a função
nos itens a seguir.
b) (1.5 ponto) A integral é convergente?
Justifique suas respostas.
b) (1.5 ponto) A integral
Justifique suas respostas.
Determine
e
sendo que
Suponha que a função
admita derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio e que seja dada implicitamente pela equação
. Expresse
e
em termos de
.