Considere a função nos itens a seguir.
b) (1.5 pontos) Calcule a integral dupla onde
Justifique suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma integral dupla da função sobre uma região definida por e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas, além de identificar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde iremos integrar. Os limites nos dizem que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até 1. Isso significa que nossa região é um triângulo no plano com vértices em , e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a 1, a integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Como , podemos fatorar :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
  1. Para , fazemos uma substituição , então :
  1. Para , usamos a regra da integração de exponenciais:

Passo 6

Substituindo os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:
Então:

Resposta

A integral dupla vale .

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Considere a função nos itens a seguir.
a) (1.0 ponto) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função .
Denote por o gráfico da função e seja (veja a figura abaixo) a curva obtida pela intersecção de o plano . Encontre a equação geral da reta tangente à curva passando pelo ponto
Considere a função nos itens a seguir.
a) (1.0 ponto) Indique pelo duas primitivas distintas para a função .
Considere a função nos itens a seguir.
b) (1.5 ponto) A integral é convergente?
Justifique suas respostas.