Considere a função f(x, y)=e^y+x nos itens a seguir.
b) (1.5 pontos) Calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d V onde
D=(x, y) mid 0 <= x <= 1, x <= y <= 1
Justifique suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma integral dupla da função sobre uma região definida por e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas, além de identificar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde iremos integrar. Os limites nos dizem que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até 1. Isso significa que nossa região é um triângulo no plano com vértices em , e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como integral duplaD e^x+y , dV = integralx=0^1 ( integraly=x^1 e^x+y , dy ) dx varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a 1, a integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integraly=x^1 e^x+y , dy :
e^x integraly=x^1 e^y , dy = e^x [ e^y ]y=x^1 = e^x (e^1 - e^x) = e^x+1 - e^2x
Como , podemos fatorar :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralx=0^1 (e^x+1 - e^2x) , dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. Para integral e^u , du = e^u + C = e^x+1 + C , fazemos uma substituição integral e^2x , dx = 12 e^2x + C , então :
  1. Para , usamos a regra da integração de exponenciais:

Passo 6

Substituindo os limites de integração de 0 a 1:
[ e^x+1 - 12 e^2x ]0^1 = ( e^2 - 12 e^2 ) - ( e^1 - 12 e^0 )
Simplificando:
e^2 - 12 e^2 = 12 e^2
e^1 - 12 e^0 = e - 12
Então:
12 e^2 - (e - 12) = 12 e^2 - e + 12

Resposta

A integral dupla vale .

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