Considere a função
nos itens a seguir.
b) (1.5 pontos) Calcule a integral dupla
onde
Justifique suas respostas.
b) (1.5 pontos) Calcule a integral dupla
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma integral dupla da função
sobre uma região
definida por
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas, além de identificar os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde iremos integrar. Os limites nos dizem que
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
até 1. Isso significa que nossa região
é um triângulo no plano
com vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a 1, a integral fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Como
, podemos fatorar
:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
- Para
, fazemos uma substituição , então :
- Para
, usamos a regra da integração de exponenciais:
Passo 6
Substituindo os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:
Então:
Resposta
A integral dupla vale
.
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Considere a função
nos itens a seguir.
a) (1.0 ponto) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função .
a) (1.0 ponto) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
Denote por
o gráfico da função
e seja
(veja a figura abaixo) a curva obtida pela intersecção de
o plano
. Encontre a equação geral da reta tangente à curva
passando pelo ponto
Considere a função
nos itens a seguir.
a) (1.0 ponto) Indique pelo duas primitivas distintas para a função .
a) (1.0 ponto) Indique pelo duas primitivas distintas para a função
Considere a função
nos itens a seguir.
b) (1.5 ponto) A integral é convergente?
Justifique suas respostas.
b) (1.5 ponto) A integral
Justifique suas respostas.