Considere a função
f(x) = { (3 - x)/2, se x < 1; raiz(x), se x ≥ 1 }
Podemos dizer que f é diferenciável em x0 = 1 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função definida por partes:
A pergunta é: Será que essa função é diferenciável em ? Para responder isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e o que vamos precisar calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto. Isso significa que a função não só precisa ser contínua ali, mas também que as inclinações dos gráficos à esquerda e à direita desse ponto sejam iguais.
Então, para verificar se é diferenciável em , precisamos:
  1. Verificar se é contínua em .
  2. Calcular as derivadas pela esquerda e pela direita em e ver se elas são iguais.

Passo 3

Vamos começar verificando a continuidade em .
  • Quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
  • Quando é igual ou se aproxima de 1 pela direita ( ):
Como o limite pela esquerda e pela direita são iguais e , a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda em .
Para , temos . A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela esquerda em é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada pela direita em .
Para , temos . A derivada dessa parte é:
Avaliando em :

Passo 6

Vamos comparar as derivadas que encontramos:
  • Derivada pela esquerda:
  • Derivada pela direita:
Como , as derivadas não são iguais.

Resposta

Não, a função n��o é diferenciável em .

Exercícios relacionados

f(x) = 1/x, x0 = 1/2;
Use a definição de derivada para calcular f'(x0) e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0, f(x0)), com x_0 dado.
f(x) = (e^x + raiz(x))(e^x - raiz(x))
f(x) = e^x * (x + 1)^2, x0 = 2