Considere a função
Podemos dizer que
é diferenciável em
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função definida por partes:
A pergunta é: Será que essa função é diferenciável em
? Para responder isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e o que vamos precisar calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto. Isso significa que a função não só precisa ser contínua ali, mas também que as inclinações dos gráficos à esquerda e à direita desse ponto sejam iguais.
Então, para verificar se
é diferenciável em
, precisamos:
- Verificar se
é contínua em . - Calcular as derivadas pela esquerda e pela direita em
e ver se elas são iguais.
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade em
.
-
Quando
se aproxima de 1 pela esquerda ( ): -
Quando
é igual ou se aproxima de 1 pela direita ( ):
Como o limite pela esquerda e pela direita são iguais e
, a função
é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda em
.
Para
, temos
. A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela esquerda em
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada pela direita em
.
Para
, temos
. A derivada dessa parte é:
Avaliando em
:
Passo 6
Vamos comparar as derivadas que encontramos:
- Derivada pela esquerda:
- Derivada pela direita:
Como
, as derivadas não são iguais.
Resposta
Não, a função
n��o é diferenciável em
.
Exercícios relacionados
Use a definição de derivada para calcular
e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
, com
dado.