f(x) = e^x * (x + 1)^2, x0 = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos analisar em . Basicamente, vamos calcular a derivada dessa função em . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das regras que vamos usar:
  1. Regra do Produto: Se temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , a derivada dela é .
  2. Regra da Cadeia: Se temos uma função composta, como , a derivada é .
Vamos aplicar essas regras para encontrar a derivada de .

Passo 3

Vamos identificar nossas partes da função para aplicar a regra do produto:
Agora, vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de :
  2. Derivada de usando a regra da cadeia:
Agora, aplicamos a regra do produto:
Podemos fatorar e :

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada em :

Resposta

A derivada de em é .

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