Considere a função
(b) [1 pt] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
(b) [1 pt] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede: temos uma função definida por partes e precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto onde
. Para fazer isso, vamos precisar calcular o valor da função em
e a derivada da função nesse ponto, que nos dará o coeficiente angular da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função em
. Observando a definição da função:
Como
se encaixa na segunda parte, substituímos na expressão:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função para determinar o coeficiente angular da reta tangente. Precisamos calcular a derivada para ambas as partes da função.
Para
:
Para
:
Passo 4
Queremos a reta tangente no ponto
, então calculamos a derivada nesse ponto para ambas as partes.
Para
:
Para
:
Como a derivada deve ser a mesma para ambas as partes no ponto de tangência, igualamos:
Passo 5
Agora, garantimos que a função seja contínua em
. Igualamos os valores das duas partes da função nesse ponto.
Para
:
Para
:
Igualando:
Substituindo
:
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, podemos determinar a reta tangente. Sabemos que a derivada em
é
e o ponto de tangência é
.
Usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Resolvendo:
Resposta
A equação da reta tangente é
.
Exercícios relacionados
Considere as funções
e
.
(a) pt] Determine o domínio de
.
(a)
Calcule os limites abaixo:
© pt
©
Calcule os limites abaixo:
(d) pt
(d)