Considere a função
(b) [1 pt] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: temos uma função definida por partes e precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto onde . Para fazer isso, vamos precisar calcular o valor da função em e a derivada da função nesse ponto, que nos dará o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função em . Observando a definição da função:
Como se encaixa na segunda parte, substituímos na expressão:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função para determinar o coeficiente angular da reta tangente. Precisamos calcular a derivada para ambas as partes da função.
Para :
Para :

Passo 4

Queremos a reta tangente no ponto , então calculamos a derivada nesse ponto para ambas as partes.
Para :
Para :
Como a derivada deve ser a mesma para ambas as partes no ponto de tangência, igualamos:

Passo 5

Agora, garantimos que a função seja contínua em . Igualamos os valores das duas partes da função nesse ponto.
Para :
Para :
Igualando:
Substituindo :

Passo 6

Com os valores de e encontrados, podemos determinar a reta tangente. Sabemos que a derivada em é e o ponto de tangência é .
Usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Resolvendo:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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© pt
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(d) pt