Considere a função . Determine os valores de a e b, para que f(x) seja contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função definida por partes e pede para encontrarmos os valores de e que fazem a função ser contínua. Isso significa que não pode ter “saltos” ou “quebras” no gráfico da função. Para conseguir isso, precisamos garantir que os valores das diferentes partes da função se encontrem nos pontos onde elas mudam.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função: quando . Para garantir a continuidade em , o limite dessa parte quando se aproxima de -2 deve ser igual ao valor da função na segunda parte em .
Vamos calcular :
Passo 3
Agora, a segunda parte da função é para . Para a função ser contínua em , devemos ter:
çã
Passo 4
Em seguida, vamos garantir a continuidade em . A terceira parte da função é para . Precisamos que o limite da segunda parte quando se aproxima de 3 seja igual ao valor da terceira parte em .
Primeiro, calculamos :
Passo 5
Agora, usando a segunda parte da função em :
çã
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Passo 7
Agora que temos o valor de , vamos substituir na Equação 1 para encontrar :
Resposta
Portanto, os valores que tornam a função contínua são: