Considere as funções f(x) = raiz(x^2 - 3) e f(x) = raiz(3) / (x + 2). Determine o domínio das das funções (f o g)(x) e (g o f)(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente encontrar o domínio das funções compostas (f o g)(x) e (g o f)(x). A gente tem duas funções:
Vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como funciona a composição de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Ou seja, não dá para colocar valores que deixem a expressão sem sentido, como divisão por zero ou raiz de número negativo.

Passo 3

Vamos analisar o domínio de cada função individualmente antes de compor elas.
Para :
  • Dentro da raiz, a expressão precisa ser maior ou igual a zero:
  • Resolvendo: ou
  • Então, o domínio de f é:
Para :
  • O denominador não pode ser zero:
  • E o denominador pode ser qualquer número real, então não temos restrição na raiz já que raiz(3) é uma constante positiva.
  • Então, o domínio de g é:

Passo 4

Agora, vamos ver a composição (f o g)(x), que significa f(g(x)). Para que essa composição exista, o valor que a função g(x) retorna precisa estar dentro do domínio de f.
Ou seja:
  1. x deve estar no domínio de g:
  2. g(x) deve estar no domínio de f: ou
Vamos analisar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, lembrando que .
Queremos que esteja definido, então:
Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por (que é sempre positivo, então a desigualdade não muda):
Dividindo ambos os lados por 3:
Rearranjando:
Tirando a raiz quadrada:
Subtraindo 2:
Lembrando que , então tiramos esse ponto do intervalo.

Passo 6

Então, o domínio de (f o g)(x) é:
, mas
Ou seja:

Passo 7

Agora, vamos analisar a composição (g o f)(x), que significa g(f(x)). Para essa composição existir:
  1. x deve estar no domínio de f: ou
  2. f(x) deve estar no domínio de g:
Vamos verificar isso.

Passo 8

Primeiro, .
Queremos que esteja definido, então:
Mas sempre é maior ou igual a zero, então nunca será igual a -2. Portanto, não há restrição adicional aqui.

Passo 9

Então, o domínio de (g o f)(x) é simplesmente o domínio de f, que já estabelecemos:

Resposta

  • Domínio de (f o g)(x):
  • Domínio de (g o f)(x):

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo: [1 pt] lim x +infty 2 x^2-5 x+71-3 x^2
Calcule os limites abaixo: [1 pt] lim x 0(7 x-3 x^2) sen(1x^3)
Considere a função f(x) = { |-x^2 - 4x + 5|, x <= -2; a*x + b, -2 < x < 3; raiz(x - 2), x >= 3 }. Determine os valores de a e b, para que f(x) seja contínua.
Determine d^9/dx^0 (x^8 ln(x)).