Considere as funções e . Determine o domínio das das funções e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente encontrar o domínio das funções compostas e . A gente tem duas funções:
Vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como funciona a composição de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Ou seja, não dá para colocar valores que deixem a expressão sem sentido, como divisão por zero ou raiz de número negativo.
Passo 3
Vamos analisar o domínio de cada função individualmente antes de compor elas.
Para :
Dentro da raiz, a expressão precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo: ou
Então, o domínio de é:
Para :
O denominador não pode ser zero:
E o denominador pode ser qualquer número real, então não temos restrição na raiz já que é uma constante positiva.
Então, o domínio de é:
Passo 4
Agora, vamos ver a composição , que significa . Para que essa composição exista, o valor que a função retorna precisa estar dentro do domínio de .
Ou seja:
deve estar no domínio de :
deve estar no domínio de : ou
Vamos analisar isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, lembrando que .
Queremos que esteja definido, então:
Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por (que é sempre positivo, então a desigualdade não muda):
Dividindo ambos os lados por 3:
Rearranjando:
Tirando a raiz quadrada:
Subtraindo 2:
Lembrando que , então tiramos esse ponto do intervalo.
Passo 6
Então, o domínio de é: , mas
Ou seja:
Passo 7
Agora, vamos analisar a composição , que significa . Para essa composição existir:
deve estar no domínio de : ou
deve estar no domínio de :
Vamos verificar isso.
Passo 8
Primeiro, .
Queremos que esteja definido, então:
Mas sempre é maior ou igual a zero, então nunca será igual a . Portanto, não há restrição adicional aqui.
Passo 9
Então, o domínio de é simplesmente o domínio de , que já estabelecemos: