Considere as funções
e
. Determine o domínio das das funções
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente encontrar o domínio das funções compostas
e
. A gente tem duas funções:
Vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como funciona a composição de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Ou seja, não dá para colocar valores que deixem a expressão sem sentido, como divisão por zero ou raiz de número negativo.
Passo 3
Vamos analisar o domínio de cada função individualmente antes de compor elas.
Para
:
- Dentro da raiz, a expressão precisa ser maior ou igual a zero:
- Resolvendo:
ou - Então, o domínio de
é:
Para
:
- O denominador não pode ser zero:
- E o denominador pode ser qualquer número real, então não temos restrição na raiz já que
é uma constante positiva. - Então, o domínio de
é:
Passo 4
Agora, vamos ver a composição
, que significa
. Para que essa composição exista, o valor que a função
retorna precisa estar dentro do domínio de
.
Ou seja:
-
deve estar no domínio de : -
deve estar no domínio de : ou
Vamos analisar isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, lembrando que
.
Queremos que
esteja definido, então:
Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
(que é sempre positivo, então a desigualdade não muda):
Dividindo ambos os lados por 3:
Rearranjando:
Tirando a raiz quadrada:
Subtraindo 2:
Lembrando que
, então tiramos esse ponto do intervalo.
Passo 6
Então, o domínio de
é:
, mas
Ou seja:
Passo 7
Agora, vamos analisar a composição
, que significa
. Para essa composição existir:
-
deve estar no domínio de : ou -
deve estar no domínio de :
Vamos verificar isso.
Passo 8
Primeiro,
.
Queremos que
esteja definido, então:
Mas
sempre é maior ou igual a zero, então nunca será igual a
. Portanto, não há restrição adicional aqui.
Passo 9
Então, o domínio de
é simplesmente o domínio de
, que já estabelecemos:
Resposta
- Domínio de
: - Domínio de
: