Considere a função f(x)=ll3 sen(x)+5 e^x, & se x <= 0 raiz16+3 x^4, & se x>0.
© O limite lim x 0 f(x) exite? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre limites. A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela se comporta de um jeito quando e de outro quando . Nosso objetivo aqui é descobrir se o limite de quando se aproxima de 0 existe. Para isso, vamos precisar calcular o limite pela esquerda e pela direita de 0 e ver se eles são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de f(x) = 3 sen(x) + 5 e^x quando limx to 0^- f(x) = 3 limx to 0 sen(x) + 5 limx to 0 e^x se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, quando limx to 0 sen(x) = 0 e limx to 0 e^x = 1 está chegando a 0 vindo dos valores negativos ( limx to 0^- f(x) = 3 times 0 + 5 times 1 = 5 ). Nesse caso, usamos a primeira parte da função:
Vamos calcular:
Sabemos que:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de f(x) = raiz16 + 3x^4 quando limx to 0^+ f(x) = raiz16 + 3 times 0^4 = raiz16 = 4 se aproxima de 0 pela direita, ou seja, quando está chegando a 0 vindo dos valores positivos ( ). Nesse caso, usamos a segunda parte da função:
Vamos calcular:

Passo 4

Agora que temos os dois limites:
limx to 0^- f(x) = 5 e limx to 0^+ f(x) = 4
Para o limite geral existir, esses dois valores precisam ser iguais. Como 5 é diferente de 4, podemos concluir que o limite de quando se aproxima de 0 não existe.

Resposta

Não, o limite não existe porque os limites laterais são diferentes ( pela esquerda e pela direita).

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