Considere a função $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 \operatorname{sen}(x)+5 e^{x}, & \text { se } x \leq 0 \\ \sqrt{16+3 x^{4}}, & \text { se } x>0\end{array}\right.$. (c) O limite $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ exite? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre limites. A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela se comporta de um jeito quando
e de outro quando
. Nosso objetivo aqui é descobrir se o limite de
quando
se aproxima de 0 existe. Para isso, vamos precisar calcular o limite pela esquerda e pela direita de 0 e ver se eles são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, quando
está chegando a 0 vindo dos valores negativos (
). Nesse caso, usamos a primeira parte da função:
Vamos calcular:
Sabemos que:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita, ou seja, quando
está chegando a 0 vindo dos valores positivos (
). Nesse caso, usamos a segunda parte da função:
Vamos calcular:
Passo 4
Agora que temos os dois limites:
Para o limite geral existir, esses dois valores precisam ser iguais. Como 5 é diferente de 4, podemos concluir que o limite de
quando
se aproxima de 0 não existe.
Resposta
Não, o limite
não existe porque os limites laterais são diferentes (
pela esquerda e
pela direita).
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(b) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“38.625ex” height=“2.713ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -849.5 17072.2 1199”><title>f(x, y) = sen(x^2) + cos(y), (raiz(pi) / 2, 0)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(550,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(939,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 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<div>(a) Com base nos limites calculados na questão 5, quais das funções possui reta assíntota vertical? Dê a equação da reta e justifique a sua resposta.</div>
</body></html>
<div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -1.832ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“79.825ex” height=“5.248ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1509.9 35282.5 2319.6”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 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289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(794.2,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1794.4,0)”><path data-c=“34” d=“M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z”></path></g></g><rect width=“5225.4” height=“60” x=“120” y=“220”></rect></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
<div>(a) Com base nos limites calculados na questão 5, quais das funções possui reta assíntota vertical? Dê a equação da reta e justifique a sua resposta.</div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.<br>
(g) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“33.872ex” height=“2.47ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -841.7 14971.4 1091.7”><title>f(x, y, z) = x^2 + y^2 - z^4, (3, 2, 1)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 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<html><head></head><body><div>Encontre uma fórmula para a função inversa da função <span class="math-inline ">
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