Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(g) f(x, y, z) = x^2 + y^2 - z^4, (3, 2, 1)

Passo 1

Então, a gente tem uma função e o ponto específico . O que a gente vai fazer aqui é encontrar o gradiente dessa função nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja, se temos , o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Portanto, o gradiente da função no ponto é:

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