Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(g)
(g)
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e o ponto específico
. O que a gente vai fazer aqui é encontrar o gradiente dessa função nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja, se temos
, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Portanto, o gradiente da função
no ponto
é: