Considere a função
.
(d) A função
é contínua em
. Justifique a sua resposta.
(d) A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função
é contínua em
. Para isso, precisamos entender o que é continuidade. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função nesse ponto forem iguais. Vamos usar conceitos de limites e da definição de função contínua para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função em
. Olhando para a definição de
:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
). Para
, a função é .
Sabemos que:
Então:
Passo 4
Vamos calcular agora o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita (
). Para
, a função é
.
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então:
Passo 5
Agora, vamos comparar os três valores que encontramos:
Para a função ser contínua em
, todos esses valores precisam ser iguais. Porém, vemos que o limite pela direita é 4, que é diferente de 5.
Resposta
A função
não é contínua em
, pois o limite pela direita (4) é diferente do limite pela esquerda e do valor da função em 0 (5).
Exercícios relacionados
Considere a função
.
(a) Calcule .
(a) Calcule
Uma partícula se move com função posição
. Determine a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração da partícula.
Sejam
Use a regra de cadeia e calcule
e
.
Calcule os seguintes limites
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