Considere a função .
(d) A função é contínua em . Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função é contínua em . Para isso, precisamos entender o que é continuidade. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função nesse ponto forem iguais. Vamos usar conceitos de limites e da definição de função contínua para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função em . Olhando para a definição de :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ). Para , a função é .
Sabemos que:
Então:

Passo 4

Vamos calcular agora o limite de quando se aproxima de 0 pela direita ( ). Para , a função é .
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então:

Passo 5

Agora, vamos comparar os três valores que encontramos:
Para a função ser contínua em , todos esses valores precisam ser iguais. Porém, vemos que o limite pela direita é 4, que é diferente de 5.

Resposta

A função não é contínua em , pois o limite pela direita (4) é diferente do limite pela esquerda e do valor da função em 0 (5).

Exercícios relacionados

Considere a função .
(a) Calcule .
Uma partícula se move com função posição . Determine a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração da partícula.
Sejam
Use a regra de cadeia e calcule e .
Calcule os seguintes limites
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