Considere a função
.
Determinar a concavidade e os pontos de inflexão, caso existam. Justifique sua resposta.
Determinar a concavidade e os pontos de inflexão, caso existam. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos descobrir onde ela é côncava ou convexa, além de identificar possíveis pontos de inflexão. Isso faz parte do estudo de concavidade e pontos de inflexão em cálculo, que envolve derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função está relacionada com a segunda derivada dela. Para descobrir isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
.
Passo 3
Vamos encontrar a primeira derivada de
. Sabemos que a derivada de
é
. Aqui,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada de
.
Para derivar
, podemos reescrever como
e aplicar a regra do poder:
Passo 5
Agora que temos a segunda derivada, vamos analisar sua sinal. A concavidade da função depende do sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Observando
, vemos que o denominador
é sempre positivo (pois ao quadrado fica positivo), e o numerador é -4, que é negativo. Então,
é sempre negativo.
Passo 6
Como
é sempre negativo, concluímos que a função
é sempre côncava para baixo. Além disso, como a segunda derivada nunca muda de sinal, não há pontos de inflexão para essa função.
Resposta
A função
é sempre côncava para baixo e não possui pontos de inflexão.
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.
Encontrar as assíntotas verticais ou horizontais, se existirem, e esboçar o gráfico.
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