Considere a função .
Determinar a concavidade e os pontos de inflexão, caso existam. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos descobrir onde ela é côncava ou convexa, além de identificar possíveis pontos de inflexão. Isso faz parte do estudo de concavidade e pontos de inflexão em cálculo, que envolve derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função está relacionada com a segunda derivada dela. Para descobrir isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de .

Passo 3

Vamos encontrar a primeira derivada de . Sabemos que a derivada de é . Aqui, .

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada de .
Para derivar , podemos reescrever como e aplicar a regra do poder:

Passo 5

Agora que temos a segunda derivada, vamos analisar sua sinal. A concavidade da função depende do sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Observando , vemos que o denominador é sempre positivo (pois ao quadrado fica positivo), e o numerador é -4, que é negativo. Então, é sempre negativo.

Passo 6

Como é sempre negativo, concluímos que a função é sempre côncava para baixo. Além disso, como a segunda derivada nunca muda de sinal, não há pontos de inflexão para essa função.

Resposta

A função é sempre côncava para baixo e não possui pontos de inflexão.

Exercícios relacionados

Considere a função .
Encontrar as assíntotas verticais ou horizontais, se existirem, e esboçar o gráfico.