lim x 2(x^3-x^2-2 xx^2-3 x+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 2(x^3-x^2-2 xx^2-3 x+2). Esse problema está dentro da área de cálculo, mais especificamente em limites que envolvem funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador: x^3 - x^2 - 2x. Podemos fatorar esse polinômio retirando um x como fator comum:
x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2)

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio de segundo grau que sobrou: x^2 - x - 2. Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1. Então:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Passo 4

Então, o numerador fatorado fica:
x(x - 2)(x + 1)

Passo 5

Agora, vamos fatorar o denominador: x^2 - 3x + 2. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Passo 6

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
x(x - 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2)

Passo 7

Vemos que (x - 2) está presente no numerador e no denominador, então podemos simplificar esses termos (desde que x neq 2, o que é válido para o limite):
x(x + 1)x - 1

Passo 8

Agora, substituímos x por 2 na expressão simplificada:
2(2 + 1)2 - 1 = 2 times 31 = 6

Resposta

O limite vale 6.

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