lim x 2(raiz3 x-2-2raiz4 x+1-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 2(raiz3 x-2-2raiz4 x+1-3)
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções envolvendo raízes quadradas, e para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de racionalização para eliminar as raízes do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz3 times 2 - 2 - 2raiz4 times 2 + 1 - 3 = raiz6 - 2 - 2raiz8 + 1 - 3 = raiz4 - 2raiz9 - 3 = 2 - 23 - 3 = 00 diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para achar o limite.

Passo 3

Vamos começar racionalizando o numerador. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:
raiz3x - 2 - 2raiz4x + 1 - 3 times raiz3x - 2 + 2raiz3x - 2 + 2
Multiplicando os termos, fica:
(raiz3x - 2)^2 - 2^2(raiz4x + 1 - 3)(raiz3x - 2 + 2) = 3x - 2 - 4(raiz4x + 1 - 3)(raiz3x - 2 + 2) = 3x - 6(raiz4x + 1 - 3)(raiz3x - 2 + 2)
Simplificando mais o numerador:
3x - 6 = 3(x - 2)

Passo 4

Agora, substituímos novamente 3(x - 2)(raiz4x + 1 - 3)(raiz3x - 2 + 2) para ver se simplificamos a expressão:
Perceba que quando , o numerador tende a 0, e o denominador também está tendendo a 0, então precisamos continuar simplificando.

Passo 5

Vamos agora racionalizar o denominador. Para isso, multiplicamos o denominador e o numerador pela expressão conjugada do denominador:
3(x - 2)(raiz4x + 1 - 3)(raiz3x - 2 + 2) times raiz4x + 1 + 3raiz4x + 1 + 3
Multiplicando os termos do denominador:
(raiz4x + 1 - 3)(raiz4x + 1 + 3) = (raiz4x + 1)^2 - 3^2 = 4x + 1 - 9 = 4x - 8 = 4(x - 2)

Passo 6

Substituindo essas simplificações na expressão, temos:
3(x - 2)(raiz4x + 1 + 3)4(x - 2)(raiz3x - 2 + 2)
Agora, podemos cancelar o termo 3(raiz4x + 1 + 3)4(raiz3x - 2 + 2) que está no numerador e denominador:

Passo 7

Finalmente, substituímos 3(raiz4 times 2 + 1 + 3)4(raiz3 times 2 - 2 + 2) = 3(raiz8 + 1 + 3)4(raiz6 - 2 + 2) = 3(raiz9 + 3)4(raiz4 + 2) = 3(3 + 3)4(2 + 2) = 3 times 64 times 4 = 1816 = 98 na expressão simplificada:

Resposta

O limite vale .

Exercícios relacionados