Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções envolvendo raízes quadradas, e para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de racionalização para eliminar as raízes do numerador e do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para achar o limite.
Passo 3
Vamos começar racionalizando o numerador. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:
Multiplicando os termos, fica:
Simplificando mais o numerador:
Passo 4
Agora, substituímos novamente
para ver se simplificamos a expressão:
Perceba que quando
, o numerador
tende a 0, e o denominador também está tendendo a 0, então precisamos continuar simplificando.
Passo 5
Vamos agora racionalizar o denominador. Para isso, multiplicamos o denominador e o numerador pela expressão conjugada do denominador:
Multiplicando os termos do denominador:
Passo 6
Substituindo essas simplificações na expressão, temos:
Agora, podemos cancelar o termo
que está no numerador e denominador:
Passo 7
Finalmente, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite vale
.
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Considere a função
.
Encontrar os pontos críticos, caso existam. Justifique sua resposta.
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Considere a função
.
Determinar a concavidade e os pontos de inflexão, caso existam. Justifique sua resposta.
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