Considere a função
.
Encontrar as assíntotas verticais ou horizontais, se existirem, e esboçar o gráfico.
Encontrar as assíntotas verticais ou horizontais, se existirem, e esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. O conteúdo aqui envolve funções logarítmicas e a identificação de assíntotas verticais e horizontais. Para resolver, vamos precisar entender onde a função pode ter comportamentos infinitos e como ela se comporta quando
cresce ou decresce sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. Assíntotas verticais acontecem quando a função tende a
ou
próximo a certos valores de
. Para a função logarítmica, isso geralmente ocorre onde o argumento do logaritmo é zero, porque
não está definido e a função explode para
.
Então, vamos resolver onde
:
Portanto,
é onde a função tem uma assíntota vertical.
Passo 3
Agora, vamos verificar se existe alguma assíntota horizontal. As assíntotas horizontais são os valores que a função se aproxima quando
tende a
ou
.
Calculando o limite de
quando
vai para
:
Isso significa que não há assíntota horizontal quando
tende a
.
Agora, calculando o limite quando
vai para
:
Aqui, precisamos lembrar que o argumento do logaritmo
deve ser positivo. Quando
vai para
,
tende a
, mas o logaritmo de números negativos não é definido. Portanto, a função não existe para valores de
menores que
, e não há assíntota horizontal nesse caso.
Passo 4
Com as informações anteriores, sabemos que a única assíntota da função é vertical em
. Para esboçar o gráfico, a função terá uma curva que se aproxima dessa linha vertical, aumentando sem limite conforme
se aproxima de
pela direita, e crescendo lentamente à medida que
aumenta.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e não possui assíntotas horizontais.
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.
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