Considere a função .
Encontrar as assíntotas verticais ou horizontais, se existirem, e esboçar o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . O conteúdo aqui envolve funções logarítmicas e a identificação de assíntotas verticais e horizontais. Para resolver, vamos precisar entender onde a função pode ter comportamentos infinitos e como ela se comporta quando cresce ou decresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. Assíntotas verticais acontecem quando a função tende a ou próximo a certos valores de . Para a função logarítmica, isso geralmente ocorre onde o argumento do logaritmo é zero, porque não está definido e a função explode para .
Então, vamos resolver onde :
Portanto, é onde a função tem uma assíntota vertical.

Passo 3

Agora, vamos verificar se existe alguma assíntota horizontal. As assíntotas horizontais são os valores que a função se aproxima quando tende a ou .
Calculando o limite de quando vai para :
Isso significa que não há assíntota horizontal quando tende a .
Agora, calculando o limite quando vai para :
Aqui, precisamos lembrar que o argumento do logaritmo deve ser positivo. Quando vai para , tende a , mas o logaritmo de números negativos não é definido. Portanto, a função não existe para valores de menores que , e não há assíntota horizontal nesse caso.

Passo 4

Com as informações anteriores, sabemos que a única assíntota da função é vertical em . Para esboçar o gráfico, a função terá uma curva que se aproxima dessa linha vertical, aumentando sem limite conforme se aproxima de pela direita, e crescendo lentamente à medida que aumenta.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e não possui assíntotas horizontais.

Exercícios relacionados

Considere a função .
Determinar a concavidade e os pontos de inflexão, caso existam. Justifique sua resposta.
Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões e , com um lado comum . Se cada pasto deve medir de área, determinar as dimensōes e , de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.