Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões x e y, com um lado comum x. Se cada pasto deve medir 300 m^2 de área, determinar as dimensōes x e y, de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fazendeiro que precisa cercar dois pastos retangulares. Cada pasto tem dimensões x e y, mas eles compartilham um lado comum de comprimento x. Cada pasto deve ter uma área de ². Nosso objetivo é encontrar os valores de x e y que fazem com que o comprimento total da cerca seja o menor possível.
Aqui, vamos usar conceitos de otimização, especificamente funções de duas variáveis e derivadas, para minimizar o comprimento da cerca respeitando as áreas dos pastos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área de cada pasto. Para um retângulo, a área é dada por:
Á
Aqui, temos que cada pasto tem uma área de ², então:
Podemos rearranjar essa equação para expressar y em termos de x:

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento total da cerca. Como os dois pastos compartilham um lado comum de comprimento x, a cerca precisa cercar cada pasto individualmente, mas descontando esse lado compartilhado.
Para um único pasto, o perímetro seria:
Como temos dois pastos e um lado x em comum, o comprimento total da cerca será:

Passo 4

Substituindo y pela expressão que encontramos anteriormente ( ) na fórmula do perímetro total, temos:
Agora, nossa função para minimizar é .

Passo 5

Para encontrar o valor de x que minimiza P(x), vamos derivar P(x) em relação a x e igualar a derivada a zero.
Primeiro, calculamos a derivada de P(x):

Passo 6

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos de mínimo:
Resolvendo para x:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por 2:
Extraindo a raiz quadrada:

Passo 7

Agora que encontramos , podemos encontrar y usando a relação :

Resposta

As dimensões que minimizam o comprimento da cerca são e .

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