Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões
e
, com um lado comum
. Se cada pasto deve medir
de área, determinar as dimensōes
e
, de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fazendeiro que precisa cercar dois pastos retangulares. Cada pasto tem dimensões
e
, mas eles compartilham um lado comum de comprimento
. Cada pasto deve ter uma área de
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem com que o comprimento total da cerca seja o menor possível.
Aqui, vamos usar conceitos de otimização, especificamente funções de duas variáveis e derivadas, para minimizar o comprimento da cerca respeitando as áreas dos pastos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a área de cada pasto. Para um retângulo, a área é dada por:
Aqui, temos que cada pasto tem uma área de
, então:
Podemos rearranjar essa equação para expressar
em termos de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o comprimento total da cerca. Como os dois pastos compartilham um lado comum de comprimento
, a cerca precisa cercar cada pasto individualmente, mas descontando esse lado compartilhado.
Para um único pasto, o perímetro seria:
Como temos dois pastos e um lado
em comum, o comprimento total da cerca será:
Passo 4
Substituindo
pela expressão que encontramos anteriormente (
) na fórmula do perímetro total, temos:
Agora, nossa função para minimizar é
.
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Passo 6
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos de mínimo:
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 2:
Extraindo a raiz quadrada:
Passo 7
Agora que encontramos
, podemos encontrar
usando a relação
:
Resposta
As dimensões que minimizam o comprimento da cerca são
e
.
Exercícios relacionados
Considere a função
.
Encontrar as assíntotas verticais ou horizontais, se existirem, e esboçar o gráfico.
Encontrar as assíntotas verticais ou horizontais, se existirem, e esboçar o gráfico.
(0.5) Explique, resumidamente, o procedimento para se obter a solução da equação,
.