Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões e , com um lado comum . Se cada pasto deve medir de área, determinar as dimensōes e , de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fazendeiro que precisa cercar dois pastos retangulares. Cada pasto tem dimensões e , mas eles compartilham um lado comum de comprimento . Cada pasto deve ter uma área de ². Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem com que o comprimento total da cerca seja o menor possível.
Aqui, vamos usar conceitos de otimização, especificamente funções de duas variáveis e derivadas, para minimizar o comprimento da cerca respeitando as áreas dos pastos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área de cada pasto. Para um retângulo, a área é dada por:
Á
Aqui, temos que cada pasto tem uma área de ², então:
Podemos rearranjar essa equação para expressar em termos de :

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento total da cerca. Como os dois pastos compartilham um lado comum de comprimento , a cerca precisa cercar cada pasto individualmente, mas descontando esse lado compartilhado.
Para um único pasto, o perímetro seria:
Como temos dois pastos e um lado em comum, o comprimento total da cerca será:

Passo 4

Substituindo pela expressão que encontramos anteriormente ( ) na fórmula do perímetro total, temos:
Agora, nossa função para minimizar é .

Passo 5

Para encontrar o valor de que minimiza , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero.
Primeiro, calculamos a derivada de :

Passo 6

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos de mínimo:
Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por 2:
Extraindo a raiz quadrada:

Passo 7

Agora que encontramos , podemos encontrar usando a relação :

Resposta

As dimensões que minimizam o comprimento da cerca são e .

Exercícios relacionados

Considere a função .
Encontrar as assíntotas verticais ou horizontais, se existirem, e esboçar o gráfico.
(0.5) Explique, resumidamente, o procedimento para se obter a solução da equação, .