4 ) Considere a função f(x) = { x^2 - 1 se x <= 0, 1 se 0 < x < e, ln(x) se x >= e } Verifique a continuidade de f em cada ponto e justifique a sua resposta:
a) para x = 0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta sobre a continuidade da função no ponto . A função é definida por partes:
Para verificar a continuidade em , precisamos analisar os limites laterais e o valor da função nesse ponto. Vamos precisar entender o conceito de limite à esquerda e à direita, além da definição de continuidade.

Passo 2

Primeiro, calculamos o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, . Como para , , temos:

Passo 3

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 0 pela direita, ou seja, . Para , , então:

Passo 4

Em seguida, avaliamos o valor da função no ponto :

Passo 5

Para a função ser contínua em , os três valores precisam ser iguais:
Substituindo os valores que encontramos:
Como , a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua em porque os limites laterais são diferentes: e .

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