Considere a função
. Encontre a imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a função
. Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem dessa função, ou seja, quais valores
pode assumir. Para isso, vamos precisar entender o que significa a função máximo e analisar como
e
se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função máximo. Quando temos
, isso significa que a função retorna o maior valor entre
e
. No nosso caso,
vai retornar o maior valor entre
e
.
Passo 3
Agora, precisamos analisar os valores de
para ver qual das duas funções,
ou
, é maior em diferentes intervalos de
. Vamos considerar
porque
não está definida para
e para
,
será negativo se
for positivo, então não será o máximo.
Passo 4
Para
, vamos encontrar o ponto onde
. Resolvendo essa equação:
Então, quando
, temos
, e quando
,
.
Passo 5
Com isso, podemos dividir a análise em dois casos:
- Quando
: - Quando
:
Passo 6
Agora, vamos ver quais valores
assume em cada intervalo:
- Para
: Como varia de a quando se aproxima de , também varia de a . - Para
: A função começa em e vai aumentando até .
Passo 7
Unindo esses intervalos, vemos que
pode assumir qualquer valor maior ou igual a
. Então, a imagem de
é o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a
.
Resposta
A imagem de
é
.
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