Considere a função f(x) = max{ x, 1/x }. Encontre a imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a função . Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem dessa função, ou seja, quais valores pode assumir. Para isso, vamos precisar entender o que significa a função máximo e analisar como e se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função máximo. Quando temos , isso significa que a função retorna o maior valor entre e . No nosso caso, vai retornar o maior valor entre e .

Passo 3

Agora, precisamos analisar os valores de para ver qual das duas funções, ou , é maior em diferentes intervalos de . Vamos considerar porque não está definida para e para , será negativo se for positivo, então não será o máximo.

Passo 4

Para , vamos encontrar o ponto onde . Resolvendo essa equação:
Então, quando , temos , e quando , .

Passo 5

Com isso, podemos dividir a análise em dois casos:
  • Quando :
  • Quando :

Passo 6

Agora, vamos ver quais valores assume em cada intervalo:
  • Para : Como varia de a quando se aproxima de , também varia de a .
  • Para : A função começa em e vai aumentando até .

Passo 7

Unindo esses intervalos, vemos que pode assumir qualquer valor maior ou igual a . Então, a imagem de é o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a .

Resposta

A imagem de é .

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