Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Beleza, o exercício quer saber se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular a soma dessa série. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante chamada razão multiplicada pelo termo anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para identificar a razão da série geométrica. Observe que:
Podemos reescrever isso como:
Simplificando ainda mais:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar a série geométrica padrão, que é da forma:
Comparando com a nossa série, vemos que:

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão precisa satisfazer a condição:
No nosso caso:
Como , a série é convergente.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A série é convergente e a soma dela é .

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