Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=2^infty(-4)^n-2 5^4-n

Passo 1

Beleza, o exercício quer saber se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular a soma dessa série. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante chamada razão multiplicada pelo termo anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para identificar a razão da série geométrica. Observe que:
(-4)^n-2 cdot 5^4-n = (-4)^n-2 cdot (15)^n-4
Podemos reescrever isso como:
(-4)^n-2 cdot 5^4-n = (-4)^n-2 cdot 5^-(n-4) = (-4)^n-2 cdot 5^4 - n = (-45)^n-2 cdot 5^4 - n cdot 5^n-2 = (-45)^n-2 cdot 5^2
Simplificando ainda mais:
(-45)^n-2 cdot 25
Então, a série fica:
sumn=2^infty 25 (-45)^n-2

Passo 3

Agora, vamos identificar a série geométrica padrão, que é da forma:
sumk=0^infty ar^k
Comparando com a nossa série, vemos que:
a = 25 cdot (-45)^0 = 25 r = -45

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão |r| < 1 precisa satisfazer a condição:
| -45 | = 45 < 1
No nosso caso:
Como , a série é convergente.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 251 - ( -45 ) = 251 + 45 = 2595 = 25 cdot 59 = 1259

Resposta

A série é convergente e a soma dela é .

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