Determine se as seguintes séries convergem ou divergem: sumn=1^infty n^2e^n

Passo 1

Vamos analisar a série para ver se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para séries com termos envolvendo potências e exponenciais.

Passo 2

No Teste da Razão, calculamos o limite da razão entre o termo seguinte da série ( L = limn to infty an+1an ) e o termo atual ( an = n^2e^n ). A fórmula é:
an+1an = (n+1)^2/e^n+1n^2/e^n = (n+1)^2n^2 cdot e^ne^n+1 = (n+1n)^2 cdot 1e
Se (n+1n)^2 = (1 + 1n)^2 , a série converge; se L = limn to infty (1 + 1n)^2 cdot 1e = 1 cdot 1e = 1e , ela diverge; e se , o teste não dá uma resposta definitiva.
Primeiro, identifiquemos os termos da nossa série:
Agora, vamos calcular :
Simplificando, temos:
Quando tende ao infinito, tende a 1. Portanto:
Sabemos que , então , que é menor que 1.

Resposta

Como , a série converge.

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