Considere a função f(x) = { e^(-1/x^2) se x ≠ 0, 0 se x = 0 }
(a) Determine f' e f''.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A tarefa é encontrar a primeira derivada e a segunda derivada dessa função. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo diferencial, como a regra da cadeia e a definição de derivadas em pontos onde a função é definida de forma especial.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada para . A função para é .
Para derivar , usamos a regra da cadeia. Se temos uma função composta , sua derivada é .
No nosso caso, , então precisamos encontrar .
Calculando :
Agora, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos determinar . Para isso, usamos a definição de derivada no ponto :
Sabemos que e para . Então:
Observamos que tende a 0 muito mais rapidamente que tende a 0. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para . Já temos .
Para derivar , usamos novamente a regra da cadeia e a regra do produto, já que temos um produto de duas funções: e .
Derivando :
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar . Usamos a definição de derivada no ponto :
Sabemos que e . Então:
Novamente, tende a 0 mais rapidamente que tende a 0, logo:

Resposta

A primeira derivada é
e a segunda derivada é

Exercícios relacionados

Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(q) f(x) = log(sen^2(x), x),
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
d) lim x 0 raizx^2-9sin 5 x
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(f) f(x) = x / (2 + e^(-3 x^2)),
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(k) f(x) = 2^(3x + sen^2(pi x)),