Considere a função
(a) Determine
e
.
(a) Determine
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A tarefa é encontrar a primeira derivada
e a segunda derivada
dessa função. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo diferencial, como a regra da cadeia e a definição de derivadas em pontos onde a função é definida de forma especial.
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada
para
. A função para
é
.
Para derivar
, usamos a regra da cadeia. Se temos uma função composta
, sua derivada é
.
No nosso caso,
, então precisamos encontrar
.
Calculando
:
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos determinar
. Para isso, usamos a definição de derivada no ponto
:
Sabemos que
e
para
. Então:
Observamos que
tende a 0 muito mais rapidamente que
tende a 0. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
para
. Já temos
.
Para derivar
, usamos novamente a regra da cadeia e a regra do produto, já que temos um produto de duas funções:
e
.
Derivando
:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar
. Usamos a definição de derivada no ponto
:
Sabemos que
e
. Então:
Novamente,
tende a 0 mais rapidamente que
tende a 0, logo:
Resposta
A primeira derivada é
e a segunda derivada é
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Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(q) ,
(q)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
d)
d)
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(f) ,
(f)
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(k) ,
(k)