Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(q) f(x) = log(sen^2(x), x),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função usando a regra da cadeia. Primeiro, vamos entender o que isso significa. A função envolve um logaritmo com base , então precisamos usar a regra da cadeia para derivar funções compostas como essa. Vamos precisar lembrar como derivar logaritmos e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o logaritmo em uma forma mais fácil de derivar. Sabemos que:
Aplicando isso à nossa função:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que . Então:

Passo 4

Para derivar , vamos usar a regra do quociente: se temos , a derivada é . Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular e :
Para , primeiro notamos que:
Então,

Passo 6

Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, podemos fatorar o 2 no numerador:
Simplificando os 2/4:

Passo 8

Então, a derivada final é:
Ou, simplificando ainda mais:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule, se existirem, os seguintes limites:
d) lim x 0 raizx^2-9sin 5 x
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(l) f(x) = 1 / (3^x + e^x).
Considere a função f(x) = { e^(-1/x^2) se x ≠ 0, 0 se x = 0 }
(a) Determine f' e f''.
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(f) f(x) = x / (2 + e^(-3 x^2)),