Considere a função
(a) Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa esboçar o gráfico dela. Isso envolve o estudo de funções valor absoluto, que são aquelas que sempre dão um resultado positivo ou zero. Para esboçar o gráfico, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal e ver como a função se comporta em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde cada parte dentro do valor absoluto se anula, ou seja, onde e . Resolvendo essas equações:
Esses pontos, e , são importantes porque eles dividem a linha dos números em três intervalos onde a função se comporta de forma diferente.

Passo 3

Vamos analisar cada intervalo separadamente:
  1. Para :
    • é negativo, então .
    • é negativo, então .
    Assim, .
  2. Para :
    • ainda é negativo, então .
    • é positivo, então .
    Assim, .
  3. Para :
    • é positivo, então .
    • também é positivo, então .
    Assim, .

Passo 4

Com essas expressões, podemos esboçar o gráfico:
  • Para : A função é uma reta decrescente .
  • Para : A função é constante .
  • Para : A função é uma reta crescente .
Vamos identificar alguns pontos chave:
  • Em , .
  • Em , também.
  • Podemos escolher pontos adicionais para desenhar as retas, por exemplo:
    • Para , se , .
    • Para , se , .

Resposta

O gráfico de é formado por três partes:
  1. Uma reta decrescente para .
  2. Uma linha horizontal entre .
  3. Uma reta crescente para .
Essas partes se encontram nos pontos e , formando um gráfico em formato de “V” invertido com a parte central sendo uma linha horizontal.

Exercícios relacionados

Uma função real é dita crescente se implica que . Analogamente, uma função é dita se decrescente se se implica que .
(a) Determine os intervalos em que uma função é crescente e os intervalos em que ela é decrescente.
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(a)
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
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Uma função real é dita crescente se implica que . Analogamente, uma função é dita se decrescente se se implica que .
(b) Determine os maiores conjuntos possíveis para os quais tem-se a função invertível