Considere a função
(a) Esboce o gráfico de
.
(a) Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa esboçar o gráfico dela. Isso envolve o estudo de funções valor absoluto, que são aquelas que sempre dão um resultado positivo ou zero. Para esboçar o gráfico, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal e ver como a função se comporta em cada intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde cada parte dentro do valor absoluto se anula, ou seja, onde
e
. Resolvendo essas equações:
Esses pontos,
e
, são importantes porque eles dividem a linha dos números em três intervalos onde a função se comporta de forma diferente.
Passo 3
Vamos analisar cada intervalo separadamente:
-
Para
: -
é negativo, então . -
é negativo, então .
Assim,. -
-
Para
: -
ainda é negativo, então . -
é positivo, então .
Assim,. -
-
Para
: -
é positivo, então . -
também é positivo, então .
Assim,. -
Passo 4
Com essas expressões, podemos esboçar o gráfico:
- Para
: A função é uma reta decrescente . - Para
: A função é constante . - Para
: A função é uma reta crescente .
Vamos identificar alguns pontos chave:
- Em
, . - Em
, também. - Podemos escolher pontos adicionais para desenhar as retas, por exemplo:
- Para
, se , . - Para
, se , .
- Para
Resposta
O gráfico de
é formado por três partes:
- Uma reta decrescente
para . - Uma linha horizontal
entre . - Uma reta crescente
para .
Essas partes se encontram nos pontos
e
, formando um gráfico em formato de “V” invertido com a parte central sendo uma linha horizontal.