Considere a função f(x) = |x - 2| + |x + 4|
(a) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa esboçar o gráfico dela. Isso envolve o estudo de funções valor absoluto, que são aquelas que sempre dão um resultado positivo ou zero. Para esboçar o gráfico, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal e ver como a função se comporta em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde cada parte dentro do valor absoluto se anula, ou seja, onde e . Resolvendo essas equações:
Esses pontos, e , são importantes porque eles dividem a linha dos números em três intervalos onde a função se comporta de forma diferente.

Passo 3

Vamos analisar cada intervalo separadamente:
  1. Para :
    • é negativo, então .
    • é negativo, então .
    Assim, .
  2. Para :
    • ainda é negativo, então .
    • é positivo, então .
    Assim, .
  3. Para :
    • é positivo, então .
    • também é positivo, então .
    Assim, .

Passo 4

Com essas expressões, podemos esboçar o gráfico:
  • Para : A função é uma reta decrescente .
  • Para : A função é constante .
  • Para : A função é uma reta crescente .
Vamos identificar alguns pontos chave:
  • Em , .
  • Em , também.
  • Podemos escolher pontos adicionais para desenhar as retas, por exemplo:
    • Para , se , .
    • Para , se , .

Resposta

O gráfico de é formado por três partes:
  1. Uma reta decrescente para .
  2. Uma linha horizontal entre .
  3. Uma reta crescente para .
Essas partes se encontram nos pontos e , formando um gráfico em formato de “V” invertido com a parte central sendo uma linha horizontal.

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