Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
© f : [-pi, pi] f(x) = cos((x + pi) / 2)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos a função definida por . O objetivo é determinar quais propriedades a função possui em termos de ser injetora e sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que são essas propriedades e como aplicá-las à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é dita injetora se, sempre que , isso implica que . Em outras palavras, a função não atribui o mesmo valor de saída para entradas diferentes.

Passo 3

Observando a função , sabemos que a função cosseno é periódica e possui simetria, o que pode levar a valores repetidos para diferentes entradas . Isso pode afetar a injetividade.

Passo 4

Para verificar a injetividade, vamos supor que :
Sabemos que implica que ou , onde é um número inteiro.

Passo 5

Aplicando isso, temos duas possibilidades:
Vamos resolver cada uma delas dentro do intervalo .

Passo 6

Para a primeira possibilidade:
Dentro do intervalo , a única solução que satisfaz essa equação é quando , ou seja, .
Para a segunda possibilidade:
Novamente, dentro de , essa equação não possui soluções válidas diferentes de .

Passo 7

Como a única solução válida dentro do intervalo é , concluímos que a função é injetora.

Passo 8

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem uma pré-imagem no domínio.

Passo 9

O contradomínio da função é , mas a função cosseno sempre retorna valores no intervalo . Portanto, para valores fora desse intervalo, não existe tal que atinja esses valores.

Passo 10

Como nem todos os elementos de têm uma pré-imagem na função , a função não é sobrejetora.

Resposta

A função definida em é injetora, mas não é sobrejetora.

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