Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
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Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos a função
definida por
. O objetivo é determinar quais propriedades a função possui em termos de ser injetora e sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que são essas propriedades e como aplicá-las à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é injetora. Uma função é dita injetora se, sempre que
, isso implica que
. Em outras palavras, a função não atribui o mesmo valor de saída para entradas diferentes.
Passo 3
Observando a função
, sabemos que a função cosseno é periódica e possui simetria, o que pode levar a valores repetidos para diferentes entradas
. Isso pode afetar a injetividade.
Passo 4
Para verificar a injetividade, vamos supor que
:
Sabemos que
implica que
ou
, onde
é um número inteiro.
Passo 5
Aplicando isso, temos duas possibilidades:
Vamos resolver cada uma delas dentro do intervalo
.
Passo 6
Para a primeira possibilidade:
Dentro do intervalo
, a única solução que satisfaz essa equação é quando
, ou seja,
.
Para a segunda possibilidade:
Novamente, dentro de
, essa equação não possui soluções válidas diferentes de
.
Passo 7
Como a única solução válida dentro do intervalo é
, concluímos que a função é injetora.
Passo 8
Agora, vamos verificar se a função
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem uma pré-imagem no domínio.
Passo 9
O contradomínio da função
é
, mas a função cosseno sempre retorna valores no intervalo
. Portanto, para valores fora desse intervalo, não existe
tal que
atinja esses valores.
Passo 10
Como nem todos os elementos de
têm uma pré-imagem na função
, a função não é sobrejetora.
Resposta
A função
definida em
é injetora, mas não é sobrejetora.
Exercícios relacionados
Considere a função
(a) Esboce o gráfico de .
(a) Esboce o gráfico de
Uma função real
é dita crescente se
implica que
. Analogamente, uma função é dita se decrescente se se
implica que
.
(a) Determine os intervalos em que uma função é crescente e os intervalos em que ela é decrescente.
(a) Determine os intervalos em que uma função
Uma função real
é dita crescente se
implica que
. Analogamente, uma função é dita se decrescente se se
implica que
.
(b) Determine os maiores conjuntos possíveis para os quais tem-se a função
invertível
(b) Determine os maiores conjuntos possíveis
Considere a função
(b) Note que o número de soluções da equação varia conforme modifica-se o valor de
(
pode ser um númeror real qualquer). Analise a equação relacionando o valor de
com o número de soluções, isto é, diga quantas soluções a equação admite para cada valor de
.
(b) Note que o número de soluções da equação