Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(a) f : [2pi/3, 4pi/3] -> [-1, 1] f(x) = cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntinho! O enunciado pede para a gente descobrir se a função definida no intervalo é injetora e/ou sobrejetora. Para isso, precisamos entender o que são essas propriedades:
  • Função Injetora: Uma função é injetora se cada saída está ligada a uma única entrada. Ou seja, não há dois valores diferentes de que dão o mesmo valor de .
  • Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora se toda saída possível no conjunto de chegada ( nesse caso) é atingida por pelo menos uma entrada no domínio.
Vamos verificar essas propriedades passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar se a função é injetora no intervalo .
A função cosseno é uma função que varia entre -1 e 1 e é periódica, ou seja, se repete a cada . Porém, dentro do intervalo , precisamos ver como o cosseno se comporta.
No intervalo :
  • Em ,
  • Em ,
  • Em ,
O gráfico do cosseno nesse intervalo diminui até e depois aumenta de volta para . Isso significa que há dois valores de que dão o mesmo valor de quando está se aproximando de .
Portanto, como existem valores diferentes de que resultam no mesmo , a função não é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora no intervalo .
Para ser sobrejetora, toda saída possível no conjunto de chegada deve ser atingida por algum no domínio .
Olhando novamente para os valores de :
  • O mínimo valor de nesse intervalo é (em )
  • O máximo valor de nesse intervalo é (em e )
Isso significa que os valores de variam apenas de a . Portanto, não é possível obter valores maiores que até no conjunto de chegada a partir desse domínio.
Logo, a função não é sobrejetora, pois nem todo valor em é atingido por .

Resposta

A função definida no intervalo não é injetora e não é sobrejetora no conjunto de chegada .

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