Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntinho! O enunciado pede para a gente descobrir se a função
definida no intervalo
é injetora e/ou sobrejetora. Para isso, precisamos entender o que são essas propriedades:
-
Função Injetora: Uma função é injetora se cada saída está ligada a uma única entrada. Ou seja, não há dois valores diferentes de
que dão o mesmo valor de . -
Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora se toda saída possível no conjunto de chegada (
nesse caso) é atingida por pelo menos uma entrada no domínio.
Vamos verificar essas propriedades passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar se a função
é injetora no intervalo
.
A função cosseno é uma função que varia entre -1 e 1 e é periódica, ou seja, se repete a cada
. Porém, dentro do intervalo
, precisamos ver como o cosseno se comporta.
No intervalo
:
- Em
, - Em
, - Em
,
O gráfico do cosseno nesse intervalo diminui até
e depois aumenta de volta para
. Isso significa que há dois valores de
que dão o mesmo valor de
quando
está se aproximando de
.
Portanto, como existem valores diferentes de
que resultam no mesmo
, a função não é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é sobrejetora no intervalo
.
Para ser sobrejetora, toda saída possível no conjunto de chegada
deve ser atingida por algum
no domínio
.
Olhando novamente para os valores de
:
- O mínimo valor de
nesse intervalo é (em ) - O máximo valor de
nesse intervalo é (em e )
Isso significa que os valores de
variam apenas de
a
. Portanto, não é possível obter valores maiores que
até
no conjunto de chegada
a partir desse domínio.
Logo, a função não é sobrejetora, pois nem todo valor em
é atingido por
.
Resposta
A função
definida no intervalo
não é injetora e não é sobrejetora no conjunto de chegada
.