Uma função real
é dita crescente se
implica que
. Analogamente, uma função é dita se decrescente se se
implica que
.
(a) Determine os intervalos em que uma função
é crescente e os intervalos em que ela é decrescente.
(a) Determine os intervalos em que uma função
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre funções quadráticas! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função
está crescendo e em quais está decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, a gente precisa encontrar a sua derivada. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto, ou seja, nos diz se a função está subindo ou descendo ali.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
é
e a derivada de uma constante
é 0. Então, a derivada de
é:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos, onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, vamos igualar a derivada a zero:
Esse é o único ponto crítico da função.
Passo 5
Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelo ponto crítico
:
- Para
: se , então (porque x é negativo). Isso significa que a função está decrescendo nesse intervalo. - Para
: se , então . A função está crescendo aqui.
O mesmo raciocínio vale se
, mas com os sinais invertidos.
Passo 6
Resumindo, a função
terá o seguinte comportamento:
-
Se
: - Decrescente para
- Crescente para
- Decrescente para
-
Se
: - Crescente para
- Decrescente para
- Crescente para
Resposta
A função
é:
- Crescente em
se e em se . - Decrescente em
se e em se .
Exercícios relacionados
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(a)
(a)
Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(b) .
(b)
Considere a função
(a) Esboce o gráfico de .
(a) Esboce o gráfico de
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
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