Uma função real f é dita crescente se x1 > x2 implica que f(x1) > f(x2). Analogamente, uma função é dita se decrescente se se x1 > x2 implica que f(x1) < f(x2).
(a) Determine os intervalos em que uma função f: R -> R, f(x) = a*x^2 - b^2, a, b em R é crescente e os intervalos em que ela é decrescente.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre funções quadráticas! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função está crescendo e em quais está decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, a gente precisa encontrar a sua derivada. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto, ou seja, nos diz se a função está subindo ou descendo ali.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de é e a derivada de uma constante é 0. Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, vamos igualar a derivada a zero:
Esse é o único ponto crítico da função.

Passo 5

Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelo ponto crítico :
  • Para : se , então (porque x é negativo). Isso significa que a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Para : se , então . A função está crescendo aqui.
O mesmo raciocínio vale se , mas com os sinais invertidos.

Passo 6

Resumindo, a função terá o seguinte comportamento:
  • Se :
    • Decrescente para
    • Crescente para
  • Se :
    • Crescente para
    • Decrescente para

Resposta

A função é:
  • Crescente em se e em se .
  • Decrescente em se e em se .

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