Uma função real f é dita crescente se x1 > x2 implica que f(x1) > f(x2). Analogamente, uma função é dita se decrescente se se x1 > x2 implica que f(x1) < f(x2).
(b) Determine os maiores conjuntos possíveis A, B com A ⊆ R+para os quais tem-se a função f: A -> B, f(x) = a x^2 - b^2 invertível

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar os maiores conjuntos possíveis e dentro dos números reais positivos ( ) onde a função , dada por , seja invertível. Isso envolve entender conceitos de funções crescentes/decrescentes e invertibilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função seja injetora e sobrejetora para ser invertível.
Uma função quadrática como essa não é injetora em todo o seu domínio porque ela tem a forma de uma parábola, que não é uma linha reta. Porém, se restringirmos o domínio a onde a função é estritamente crescente ou decrescente, ela pode ser injetora.

Passo 3

Analisando a derivada de :
  • Se , a função é crescente para .
  • Se , a função é decrescente para .
Para simplificar, vamos considerar . Assim, a função é estritamente crescente em , o que garante que seja injetora nesse intervalo.

Passo 4

Agora, determinamos o conjunto , que é a imagem de pela função . Como é crescente e , o menor valor de ocorre quando é mínimo em .
Assumindo que , então:
Portanto, .

Resposta

Os maiores conjuntos possíveis são e , de forma que a função seja invertível.

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