Uma função real
é dita crescente se
implica que
. Analogamente, uma função é dita se decrescente se se
implica que
.
(b) Determine os maiores conjuntos possíveis
para os quais tem-se a função
invertível
(b) Determine os maiores conjuntos possíveis
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrar os maiores conjuntos possíveis
e
dentro dos números reais positivos (
) onde a função
, dada por
, seja invertível. Isso envolve entender conceitos de funções crescentes/decrescentes e invertibilidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função
seja injetora e sobrejetora para ser invertível.
Uma função quadrática como essa não é injetora em todo o seu domínio porque ela tem a forma de uma parábola, que não é uma linha reta. Porém, se restringirmos o domínio a onde a função é estritamente crescente ou decrescente, ela pode ser injetora.
Passo 3
Analisando a derivada de
:
- Se
, a função é crescente para . - Se
, a função é decrescente para .
Para simplificar, vamos considerar
. Assim, a função é estritamente crescente em
, o que garante que seja injetora nesse intervalo.
Passo 4
Agora, determinamos o conjunto
, que é a imagem de
pela função
. Como
é crescente e
, o menor valor de
ocorre quando
é mínimo em
.
Assumindo que
, então:
Portanto,
.
Resposta
Os maiores conjuntos possíveis são
e
, de forma que a função
seja invertível.