Considere a função
.
(a) Quais pontos onde o gráfico de
intercepta o eixo
?
(b) Quais pontos onde o gráfico de
intercepta o eixo
?
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto
?
(d) Para quais valores
a inclinação da reta tangente é positiva?
(e) Para quais valores
a inclinação da reta tangente é negativa?
(f) Para quais valores
a reta tangente é horizontal?
Usando as informações obtidas acima, esboce o gráfico de
.
(a) Quais pontos onde o gráfico de
(b) Quais pontos onde o gráfico de
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto
(d) Para quais valores
(e) Para quais valores
(f) Para quais valores
Usando as informações obtidas acima, esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos analisar vários aspectos do seu gráfico, como onde ele cruza os eixos
e
, a inclinação da reta tangente em pontos específicos, e depois usar essas informações para esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de álgebra para encontrar interceptações e derivadas para calcular as inclinações das tangentes.
Passo 2
Parte (a): Encontrar os pontos onde o gráfico de
intercepta o eixo
.
Quando o gráfico de uma função intercepta o eixo
, isso significa que
. Então, queremos resolver
:
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá três soluções:
Então, os pontos de interseção com o eixo
são:
Passo 3
Parte (b): Encontrar o ponto onde o gráfico de
intercepta o eixo
.
Quando o gráfico intercepta o eixo
, isso ocorre quando
. Basta calcular
:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é:
Passo 4
Parte ©: Calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto
.
A inclinação da reta tangente em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Vamos encontrar a derivada de
:
A derivada
é:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é:
Passo 5
Parte (d): Para quais valores de
a inclinação da reta tangente é positiva?
Queremos saber quando
:
Resolvendo a desigualdade:
Então, a inclinação é positiva para:
Passo 6
Parte (e): Para quais valores de
a inclinação da reta tangente é negativa?
Aqui, queremos
:
Resolvendo:
Então, a inclinação é negativa para:
Passo 7
Parte (f): Para quais valores de
a reta tangente é horizontal?
A reta tangente é horizontal quando a inclinação é zero. Ou seja, quando
:
Então, a reta tangente é horizontal para:
Resposta
Resumindo as respostas:
a) Os pontos de interseção com o eixo
são
,
e
.
b) O ponto de interseção com o eixo
é
.
c) A inclinação da reta tangente no ponto
é
.
d) A inclinação é positiva para
.
e) A inclinação é negativa para
.
f) A reta tangente é horizontal para
e
.
Usando essas informações, você pode esboçar o gráfico de
, marcando os pontos de interseção e observando as regiões onde a inclinação é positiva ou negativa, além dos pontos onde as tangentes são horizontais.
Exercícios relacionados
Encontre, utilizando propriedades do cálculo de derivadas, a função
em cada um dos itens abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Comentário: Aqui deve-se usar as regras de derivação apresentadas em sala de aula. Por exemplo, no caso (d), temos que pode ser escrita como
, onde
. Daí, temos que
. Como
, segue que
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Comentário: Aqui deve-se usar as regras de derivação apresentadas em sala de aula. Por exemplo, no caso (d), temos que
Sejam
e
duas funções tais que
e
. Determine a reta tangente ao gráfico de
em
.
Deseja-se construir um oleoduto ligando dois pontos
e
distantes 4 km um do outro e situados nas margens opostas de um rio que tem 1 km de largura. Do ponto
até um ponto
na margem oposta, a construção será feita sob a água e de
até
, a construção será feita à superfície. Sabendo-se que o custo da construção sob a água é 4 vezes o custo à superfície, qual é a localização do ponto
para que o custo total da obra seja o menor possível?
Determine os pontos da curva
mais próximos da origem.