Considere a função .
(a) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo ?
(b) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo ?
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto ?
(d) Para quais valores a inclinação da reta tangente é positiva?
(e) Para quais valores a inclinação da reta tangente é negativa?
(f) Para quais valores a reta tangente é horizontal?
Usando as informações obtidas acima, esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos analisar vários aspectos do seu gráfico, como onde ele cruza os eixos e , a inclinação da reta tangente em pontos específicos, e depois usar essas informações para esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de álgebra para encontrar interceptações e derivadas para calcular as inclinações das tangentes.

Passo 2

Parte (a): Encontrar os pontos onde o gráfico de intercepta o eixo .
Quando o gráfico de uma função intercepta o eixo , isso significa que . Então, queremos resolver :
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá três soluções:
Então, os pontos de interseção com o eixo são:

Passo 3

Parte (b): Encontrar o ponto onde o gráfico de intercepta o eixo .
Quando o gráfico intercepta o eixo , isso ocorre quando . Basta calcular :
Então, o ponto de interseção com o eixo é:

Passo 4

Parte ©: Calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto .
A inclinação da reta tangente em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Vamos encontrar a derivada de :
A derivada é:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é:

Passo 5

Parte (d): Para quais valores de a inclinação da reta tangente é positiva?
Queremos saber quando :
Resolvendo a desigualdade:
Então, a inclinação é positiva para:

Passo 6

Parte (e): Para quais valores de a inclinação da reta tangente é negativa?
Aqui, queremos :
Resolvendo:
Então, a inclinação é negativa para:

Passo 7

Parte (f): Para quais valores de a reta tangente é horizontal?
A reta tangente é horizontal quando a inclinação é zero. Ou seja, quando :
Então, a reta tangente é horizontal para:

Resposta

Resumindo as respostas:
a) Os pontos de interseção com o eixo são , e .
b) O ponto de interseção com o eixo é .
c) A inclinação da reta tangente no ponto é .
d) A inclinação é positiva para .
e) A inclinação é negativa para .
f) A reta tangente é horizontal para e .
Usando essas informações, você pode esboçar o gráfico de , marcando os pontos de interseção e observando as regiões onde a inclinação é positiva ou negativa, além dos pontos onde as tangentes são horizontais.

Exercícios relacionados

Encontre, utilizando propriedades do cálculo de derivadas, a função em cada um dos itens abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Comentário: Aqui deve-se usar as regras de derivação apresentadas em sala de aula. Por exemplo, no caso (d), temos que pode ser escrita como , onde . Daí, temos que . Como , segue que .
Sejam e duas funções tais que e . Determine a reta tangente ao gráfico de em .
Deseja-se construir um oleoduto ligando dois pontos e distantes 4 km um do outro e situados nas margens opostas de um rio que tem 1 km de largura. Do ponto até um ponto na margem oposta, a construção será feita sob a água e de até , a construção será feita à superfície. Sabendo-se que o custo da construção sob a água é 4 vezes o custo à superfície, qual é a localização do ponto para que o custo total da obra seja o menor possível?
Determine os pontos da curva mais próximos da origem.