Deseja-se construir um oleoduto ligando dois pontos e distantes 4 km um do outro e situados nas margens opostas de um rio que tem 1 km de largura. Do ponto até um ponto na margem oposta, a construção será feita sob a água e de até , a construção será feita à superfície. Sabendo-se que o custo da construção sob a água é 4 vezes o custo à superfície, qual é a localização do ponto para que o custo total da obra seja o menor possível?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer construir um oleoduto entre dois pontos, A e B, que estão em margens opostas de um rio que tem 1 km de largura e estão 4 km separados ao longo do rio. A construção vai de A até um ponto C na outra margem, passando debaixo d’água, e de C até B na superfície. O custo de construir debaixo d’água é 4 vezes maior que na superfície. Nosso objetivo é encontrar onde colocar o ponto C para que o custo total seja o menor possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo de custos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o rio como um retângulo com largura de 1 km (de A a C) e comprimento de 4 km (de A a B). O ponto C está em algum lugar na outra margem, ao longo da extensão de 4 km. Vamos chamar a distância horizontal de A a C de km.

Passo 3

Agora, vamos calcular as distâncias que precisamos construir. A parte debaixo d’água do oleoduto vai de A a C, formando um triângulo retângulo com lados km (horizontal) e 1 km (vertical). A distância de A a C, que vamos chamar de , pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:

Passo 4

A parte na superfície vai de C a B. Como A e B estão 4 km separados horizontalmente, a distância horizontal de C a B é km. Como essa parte é na superfície, a distância real é só essa, ou seja, km.

Passo 5

Agora, vamos calcular o custo total. Sabemos que construir debaixo d’água custa 4 vezes mais que na superfície. Se chamarmos o custo por km na superfície de , então o custo debaixo d’água é . Então, o custo total será:
Podemos fatorar :
Como é constante, para minimizar o custo total, basta minimizar a expressão dentro dos parênteses:

Passo 6

Para encontrar o valor de que minimiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :

Passo 7

Então, o ponto C deve estar a aproximadamente 0,2582 km de A ao longo da margem oposta para minimizar o custo total da construção do oleoduto.

Resposta

O ponto C deve estar a aproximadamente 0,258 km de A ao longo da margem oposta para que o custo total da obra seja o menor possível.

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Considere a função .
(a) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo ?
(b) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo ?
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto ?
(d) Para quais valores a inclinação da reta tangente é positiva?
(e) Para quais valores a inclinação da reta tangente é negativa?
(f) Para quais valores a reta tangente é horizontal?
Usando as informações obtidas acima, esboce o gráfico de .
Encontre, utilizando propriedades do cálculo de derivadas, a função em cada um dos itens abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Comentário: Aqui deve-se usar as regras de derivação apresentadas em sala de aula. Por exemplo, no caso (d), temos que pode ser escrita como , onde . Daí, temos que . Como , segue que .
Determine os pontos da curva mais próximos da origem.
Mostre que para qualquer , a reta tangente ao gráfico de não intercepta esta curva com exceção do ponto de tangência .