Deseja-se construir um oleoduto ligando dois pontos
e
distantes 4 km um do outro e situados nas margens opostas de um rio que tem 1 km de largura. Do ponto
até um ponto
na margem oposta, a construção será feita sob a água e de
até
, a construção será feita à superfície. Sabendo-se que o custo da construção sob a água é 4 vezes o custo à superfície, qual é a localização do ponto
para que o custo total da obra seja o menor possível?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer construir um oleoduto entre dois pontos, A e B, que estão em margens opostas de um rio que tem 1 km de largura e estão 4 km separados ao longo do rio. A construção vai de A até um ponto C na outra margem, passando debaixo d’água, e de C até B na superfície. O custo de construir debaixo d’água é 4 vezes maior que na superfície. Nosso objetivo é encontrar onde colocar o ponto C para que o custo total seja o menor possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo de custos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o rio como um retângulo com largura de 1 km (de A a C) e comprimento de 4 km (de A a B). O ponto C está em algum lugar na outra margem, ao longo da extensão de 4 km. Vamos chamar a distância horizontal de A a C de
km.
Passo 3
Agora, vamos calcular as distâncias que precisamos construir. A parte debaixo d’água do oleoduto vai de A a C, formando um triângulo retângulo com lados
km (horizontal) e 1 km (vertical). A distância de A a C, que vamos chamar de
, pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Passo 4
A parte na superfície vai de C a B. Como A e B estão 4 km separados horizontalmente, a distância horizontal de C a B é
km. Como essa parte é na superfície, a distância real é só essa, ou seja,
km.
Passo 5
Agora, vamos calcular o custo total. Sabemos que construir debaixo d’água custa 4 vezes mais que na superfície. Se chamarmos o custo por km na superfície de
, então o custo debaixo d’água é
. Então, o custo total
será:
Podemos fatorar
:
Como
é constante, para minimizar o custo total, basta minimizar a expressão dentro dos parênteses:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Então, o ponto C deve estar a aproximadamente 0,2582 km de A ao longo da margem oposta para minimizar o custo total da construção do oleoduto.
Resposta
O ponto C deve estar a aproximadamente 0,258 km de A ao longo da margem oposta para que o custo total da obra seja o menor possível.
Exercícios relacionados
Considere a função
.
(a) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo
?
(b) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo
?
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto ?
(d) Para quais valores a inclinação da reta tangente é positiva?
(e) Para quais valores a inclinação da reta tangente é negativa?
(f) Para quais valores a reta tangente é horizontal?
Usando as informações obtidas acima, esboce o gráfico de .
(a) Quais pontos onde o gráfico de
(b) Quais pontos onde o gráfico de
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto
(d) Para quais valores
(e) Para quais valores
(f) Para quais valores
Usando as informações obtidas acima, esboce o gráfico de
Encontre, utilizando propriedades do cálculo de derivadas, a função
em cada um dos itens abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Comentário: Aqui deve-se usar as regras de derivação apresentadas em sala de aula. Por exemplo, no caso (d), temos que pode ser escrita como
, onde
. Daí, temos que
. Como
, segue que
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Comentário: Aqui deve-se usar as regras de derivação apresentadas em sala de aula. Por exemplo, no caso (d), temos que
Determine os pontos da curva
mais próximos da origem.
Mostre que para qualquer
, a reta tangente ao gráfico de
não intercepta esta curva com exceção do ponto de tangência
.