Determine os pontos da curva 5 x^2 - 6 x y + 5 y^2 = 4 mais próximos da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os pontos da curva que estão mais próximos da origem (0,0). Para isso, vamos usar um método chamado otimização com restrição, que basicamente nos ajuda a minimizar a distância de um ponto à origem, respeitando a condição de estar na curva dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a distância de qualquer ponto à origem é dada por . Mas, para facilitar a matemática, vamos minimizar o quadrado da distância, que é . Isso porque minimizar o quadrado da distância também minimiza a distância em si, e fica mais fácil de trabalhar sem a raiz quadrada.

Passo 3

Agora, precisamos minimizar sujeito à restrição de que . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para encontrar máximos e mínimos de funções com restrições.

Passo 4

Vamos montar a função Lagrangeana:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a incorporar a restrição na nossa função de otimização.

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e igualá-las a zero:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 6

Vamos simplificar as duas primeiras equações:
  1. Primeira equação:
  1. Segunda equação:
Vamos dividir a primeira equação por (assumindo que ) e a segunda por (assumindo que ):

Passo 7

Vamos chamar . Assim, substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Como as duas expressões são iguais a 2, podemos igualá-las:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por :
Isso significa que ou , ou seja, ou .

Passo 8

Agora, vamos substituir esses valores na restrição original :
  1. Para :
Então, os pontos são e .
  1. Para :
Então, os pontos são e .

Passo 9

Finalmente, vamos calcular a distância desses pontos à origem para ver quais são os mais próximos:
  1. Para e :
  1. Para e :

Resposta

Os pontos da curva mais próximos da origem são e .

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