Determine os pontos da curva
mais próximos da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os pontos da curva
que estão mais próximos da origem (0,0). Para isso, vamos usar um método chamado otimização com restrição, que basicamente nos ajuda a minimizar a distância de um ponto à origem, respeitando a condição de estar na curva dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a distância de qualquer ponto
à origem é dada por
. Mas, para facilitar a matemática, vamos minimizar o quadrado da distância, que é
. Isso porque minimizar o quadrado da distância também minimiza a distância em si, e fica mais fácil de trabalhar sem a raiz quadrada.
Passo 3
Agora, precisamos minimizar
sujeito à restrição de que
. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para encontrar máximos e mínimos de funções com restrições.
Passo 4
Vamos montar a função Lagrangeana:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a incorporar a restrição na nossa função de otimização.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e igualá-las a zero:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 6
Vamos simplificar as duas primeiras equações:
- Primeira equação:
- Segunda equação:
Vamos dividir a primeira equação por
(assumindo que
) e a segunda por
(assumindo que
):
Passo 7
Vamos chamar
. Assim, substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Como as duas expressões são iguais a 2, podemos igualá-las:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por
:
Isso significa que
ou
, ou seja,
ou
.
Passo 8
Agora, vamos substituir esses valores na restrição original
:
- Para
:
Então, os pontos são
e
.
- Para
:
Então, os pontos são
e
.
Passo 9
Finalmente, vamos calcular a distância desses pontos à origem para ver quais são os mais próximos:
- Para
e :
- Para
e :
Resposta
Os pontos da curva
mais próximos da origem são
e
.
Exercícios relacionados
Deseja-se construir um oleoduto ligando dois pontos
e
distantes 4 km um do outro e situados nas margens opostas de um rio que tem 1 km de largura. Do ponto
até um ponto
na margem oposta, a construção será feita sob a água e de
até
, a construção será feita à superfície. Sabendo-se que o custo da construção sob a água é 4 vezes o custo à superfície, qual é a localização do ponto
para que o custo total da obra seja o menor possível?
Considere a função
.
(a) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo
?
(b) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo
?
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto ?
(d) Para quais valores a inclinação da reta tangente é positiva?
(e) Para quais valores a inclinação da reta tangente é negativa?
(f) Para quais valores a reta tangente é horizontal?
Usando as informações obtidas acima, esboce o gráfico de .
(a) Quais pontos onde o gráfico de
(b) Quais pontos onde o gráfico de
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto
(d) Para quais valores
(e) Para quais valores
(f) Para quais valores
Usando as informações obtidas acima, esboce o gráfico de
Mostre que para qualquer
, a reta tangente ao gráfico de
não intercepta esta curva com exceção do ponto de tangência
.
Estude a concavidade e encontre, caso existam, os pontos de inflexão de:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)