Determine os pontos da curva mais próximos da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os pontos da curva que estão mais próximos da origem (0,0). Para isso, vamos usar um método chamado otimização com restrição, que basicamente nos ajuda a minimizar a distância de um ponto à origem, respeitando a condição de estar na curva dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a distância de qualquer ponto à origem é dada por . Mas, para facilitar a matemática, vamos minimizar o quadrado da distância, que é . Isso porque minimizar o quadrado da distância também minimiza a distância em si, e fica mais fácil de trabalhar sem a raiz quadrada.

Passo 3

Agora, precisamos minimizar sujeito à restrição de que . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para encontrar máximos e mínimos de funções com restrições.

Passo 4

Vamos montar a função Lagrangeana:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a incorporar a restrição na nossa função de otimização.

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e igualá-las a zero:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 6

Vamos simplificar as duas primeiras equações:
  1. Primeira equação:
  1. Segunda equação:
Vamos dividir a primeira equação por (assumindo que ) e a segunda por (assumindo que ):

Passo 7

Vamos chamar . Assim, substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Como as duas expressões são iguais a 2, podemos igualá-las:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por :
Isso significa que ou , ou seja, ou .

Passo 8

Agora, vamos substituir esses valores na restrição original :
  1. Para :
Então, os pontos são e .
  1. Para :
Então, os pontos são e .

Passo 9

Finalmente, vamos calcular a distância desses pontos à origem para ver quais são os mais próximos:
  1. Para e :
  1. Para e :

Resposta

Os pontos da curva mais próximos da origem são e .

Exercícios relacionados

Deseja-se construir um oleoduto ligando dois pontos e distantes 4 km um do outro e situados nas margens opostas de um rio que tem 1 km de largura. Do ponto até um ponto na margem oposta, a construção será feita sob a água e de até , a construção será feita à superfície. Sabendo-se que o custo da construção sob a água é 4 vezes o custo à superfície, qual é a localização do ponto para que o custo total da obra seja o menor possível?
Considere a função .
(a) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo ?
(b) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo ?
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto ?
(d) Para quais valores a inclinação da reta tangente é positiva?
(e) Para quais valores a inclinação da reta tangente é negativa?
(f) Para quais valores a reta tangente é horizontal?
Usando as informações obtidas acima, esboce o gráfico de .
Mostre que para qualquer , a reta tangente ao gráfico de não intercepta esta curva com exceção do ponto de tangência .
Estude a concavidade e encontre, caso existam, os pontos de inflexão de:
(a)
(b)
©
(d)
(e)