Sejam
e
duas funções tais que
e
. Determine a reta tangente ao gráfico de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde
. Isso envolve cálculo de derivadas e a aplicação da regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar dos valores das funções e suas derivadas nos pontos indicados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função
quando
. Sabemos que
. Então,
Isso significa que o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente, ou seja, a derivada de
em relação a
no ponto
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Passo 4
Vamos calcular
. Sabemos que
e
. Além disso,
. Substituindo na fórmula da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com o ponto de tangência
e a inclinação
, podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Resposta
A reta tangente ao gráfico de
em
é
.
Exercícios relacionados
Determine o ponto do eixo
cuja soma das distâncias aos pontos
e
seja mínima.
Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Encontre, utilizando propriedades do cálculo de derivadas, a função
em cada um dos itens abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Comentário: Aqui deve-se usar as regras de derivação apresentadas em sala de aula. Por exemplo, no caso (d), temos que pode ser escrita como
, onde
. Daí, temos que
. Como
, segue que
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Comentário: Aqui deve-se usar as regras de derivação apresentadas em sala de aula. Por exemplo, no caso (d), temos que
Considere a função
.
(a) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo
?
(b) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo
?
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto ?
(d) Para quais valores a inclinação da reta tangente é positiva?
(e) Para quais valores a inclinação da reta tangente é negativa?
(f) Para quais valores a reta tangente é horizontal?
Usando as informações obtidas acima, esboce o gráfico de .
(a) Quais pontos onde o gráfico de
(b) Quais pontos onde o gráfico de
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto
(d) Para quais valores
(e) Para quais valores
(f) Para quais valores
Usando as informações obtidas acima, esboce o gráfico de