Sejam e duas funções tais que e . Determine a reta tangente ao gráfico de em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Isso envolve cálculo de derivadas e a aplicação da regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar dos valores das funções e suas derivadas nos pontos indicados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função quando . Sabemos que . Então,
Isso significa que o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente, ou seja, a derivada de em relação a no ponto . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que:

Passo 4

Vamos calcular . Sabemos que e . Além disso, . Substituindo na fórmula da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto de tangência e a inclinação , podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:

Resposta

A reta tangente ao gráfico de em é .

Exercícios relacionados

Determine o ponto do eixo cuja soma das distâncias aos pontos e seja mínima.
Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Encontre, utilizando propriedades do cálculo de derivadas, a função em cada um dos itens abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Comentário: Aqui deve-se usar as regras de derivação apresentadas em sala de aula. Por exemplo, no caso (d), temos que pode ser escrita como , onde . Daí, temos que . Como , segue que .
Considere a função .
(a) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo ?
(b) Quais pontos onde o gráfico de intercepta o eixo ?
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto ?
(d) Para quais valores a inclinação da reta tangente é positiva?
(e) Para quais valores a inclinação da reta tangente é negativa?
(f) Para quais valores a reta tangente é horizontal?
Usando as informações obtidas acima, esboce o gráfico de .