Sejam
e
duas funções tais que
e
. Determine a reta tangente ao gráfico de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde
. Isso envolve cálculo de derivadas e a aplicação da regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar dos valores das funções e suas derivadas nos pontos indicados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função
quando
. Sabemos que
. Então,
Isso significa que o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente, ou seja, a derivada de
em relação a
no ponto
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Passo 4
Vamos calcular
. Sabemos que
e
. Além disso,
. Substituindo na fórmula da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com o ponto de tangência
e a inclinação
, podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Resposta
A reta tangente ao gráfico de
em
é
.