Sejam f e g duas funções tais que f(2)=5, f'(2)=1/5, g(0)=2 e g'(0)=3. Determine a reta tangente ao gráfico de z = f(g(x)) em x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Isso envolve cálculo de derivadas e a aplicação da regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar dos valores das funções e suas derivadas nos pontos indicados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função quando . Sabemos que . Então,
Isso significa que o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente, ou seja, a derivada de em relação a no ponto . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que:

Passo 4

Vamos calcular . Sabemos que e . Além disso, . Substituindo na fórmula da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto de tangência e a inclinação , podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:

Resposta

A reta tangente ao gráfico de em é .

Exercícios relacionados