Determine o domínio das seguintes funções: Resp: ou

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções racionais e radicais.

Passo 2

Para encontrar o domínio, precisamos garantir que o denominador da fração não seja zero e que a expressão dentro da raiz quadrada seja positiva (já que não podemos tirar a raiz de um número negativo). Vamos começar garantindo que a expressão dentro da raiz seja maior que zero:

Passo 3

Resolvendo a desigualdade , podemos fatorar a expressão:
Agora, vamos encontrar os valores de que satisfazem essa desigualdade.

Passo 4

As raízes da equação são e . Esses valores dividem a linha dos números reais em três intervalos:
Vamos testar cada intervalo na desigualdade :
  • Para , por exemplo, :
    → Verdadeiro
  • Para , por exemplo, :
    → Falso
  • Para , por exemplo, :
    → Verdadeiro

Passo 5

Concluímos que a expressão é positiva quando ou . Portanto, a função está definida nesses intervalos, já que o denominador não será zero e a raiz quadrada será de um número positivo.

Resposta

O domínio da função é .

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