Dada a função f(x, y) = x^2 + y^2 - 6x + 8y. Determinar a expressão desta função em relação ao sistema de coordenadas cuja origem está no ponto 3,-4 mantendo-se o sentido dos eixos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função . O que a gente precisa fazer aqui é mudar o sistema de coordenadas, colocando a origem no ponto , mas mantendo a direção dos eixos igual. Basicamente, vamos redefinir as coordenadas para facilitar a análise dessa função a partir desse novo ponto de referência.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as novas coordenadas. Vamos chamar as novas coordenas de , onde:
Essas equações servem para “mover” a origem para o ponto . É como se a gente estivesse redesenhando o plano, deslocando o ponto de origem.

Passo 3

Agora, precisamos expressar e em termos de e . A partir das equações anteriores:
Com isso, vamos substituir e na função original pelas expressões em e .

Passo 4

Vamos substituir na função:
Agora, vamos expandir cada termo:

Passo 5

Agora, juntando tudo:
Vamos simplificar somando os termos semelhantes:
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos constantes:

Passo 6

Então, após simplificar:

Resposta

A expressão da função no novo sistema de coordenadas , com a origem em , é:

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