Dada a função f(x, y) = x^2 + y^2 - 6x + 8y. Determinar a expressão desta função em relação ao sistema de coordenadas cuja origem está no ponto 3,-4 mantendo-se o sentido dos eixos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função . O que a gente precisa fazer aqui é mudar o sistema de coordenadas, colocando a origem no ponto , mas mantendo a direção dos eixos igual. Basicamente, vamos redefinir as coordenadas para facilitar a análise dessa função a partir desse novo ponto de referência.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as novas coordenadas. Vamos chamar as novas coordenas de , onde:
Essas equações servem para “mover” a origem para o ponto . É como se a gente estivesse redesenhando o plano, deslocando o ponto de origem.

Passo 3

Agora, precisamos expressar e em termos de e . A partir das equações anteriores:
Com isso, vamos substituir e na função original pelas expressões em e .

Passo 4

Vamos substituir na função:
Agora, vamos expandir cada termo:

Passo 5

Agora, juntando tudo:
Vamos simplificar somando os termos semelhantes:
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos constantes:

Passo 6

Então, após simplificar:

Resposta

A expressão da função no novo sistema de coordenadas , com a origem em , é:

Exercícios relacionados

Encontre o número c, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(a) f(x) = x^3, 1 <= x <= 3.
(b) f(x) = x^2 + 5x, 0 <= x <= 2.
© f(x)=(x-1)^3, -1 <= x <= 2.
(d) f(x) = (x - 1) / (x + 1), 0 <= x <= 3.
(e) f(x) = raiz(25 - x^2), -3 <= x <= 4.
Considere a função f(x) = raiz(x^3 - x^2 + 1). (a) Calcule f'(x).
Considere a função f(x) = raiz(x^3 - x^2 + 1). © Use a linearização encontrada para calcular um valor aproximado de f(1,02).
Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
x^2 - 2xy + y^2 - x = 0 ; theta = 45 graus.