Dada a função
. Determinar a expressão desta função em relação ao sistema de coordenadas cuja origem está no ponto
mantendo-se o sentido dos eixos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
. O que a gente precisa fazer aqui é mudar o sistema de coordenadas, colocando a origem no ponto
, mas mantendo a direção dos eixos igual. Basicamente, vamos redefinir as coordenadas para facilitar a análise dessa função a partir desse novo ponto de referência.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as novas coordenadas. Vamos chamar as novas coordenas de
, onde:
Essas equações servem para “mover” a origem para o ponto
. É como se a gente estivesse redesenhando o plano, deslocando o ponto de origem.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
e
. A partir das equações anteriores:
Com isso, vamos substituir
e
na função original
pelas expressões em
e
.
Passo 4
Vamos substituir na função:
Agora, vamos expandir cada termo:
Passo 5
Agora, juntando tudo:
Vamos simplificar somando os termos semelhantes:
- Termos de
: - Termos de
: - Termos de
: - Termos de
: - Termos constantes:
Passo 6
Então, após simplificar:
Resposta
A expressão da função no novo sistema de coordenadas
, com a origem em
, é:
Exercícios relacionados
Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Considere a função
. (a) Calcule
.
Considere a função
. © Use a linearização encontrada para calcular um valor aproximado de
.
Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
.