Encontre o número c, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(a) f(x) = x^3, 1 <= x <= 3.
(b) f(x) = x^2 + 5x, 0 <= x <= 2.
© f(x)=(x-1)^3, -1 <= x <= 2.
(d) f(x) = (x - 1) / (x + 1), 0 <= x <= 3.
(e) f(x) = raiz(25 - x^2), -3 <= x <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos começar com a parte (a). O enunciado pede para encontrar o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função no intervalo . O Teorema do Valor Médio (TVM) afirma que se a função é contínua no intervalo fechado e derivável no intervalo aberto, então existe pelo menos um ponto onde a derivada é igual à média das variações da função no intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função atende aos requisitos do TVM. Ela é um polinômio, portanto é contínua e derivável em todo o seu domínio, incluindo o intervalo .

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula do TVM:
onde e .

Passo 4

Calculamos e :

Passo 5

Calculamos a média das variações:

Passo 6

Calculamos a derivada de :
Igualamos a derivada ao valor encontrado:

Passo 7

Resolvemos para :

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos encontrar o número que satisfaz o TVM para a função no intervalo . Novamente, confirmamos que a função é contínua e derivável no intervalo.

Passo 9

Aplicamos a fórmula do TVM:

Passo 10

Calculamos e :

Passo 11

Calculamos a média das variações:

Passo 12

Encontramos a derivada de :
Igualamos a derivada ao valor encontrado:

Passo 13

Resolvemos para :

Passo 14

Passando para a parte ©, temos a função no intervalo . Primeiro, confirmamos que a função é contínua e derivável nesse intervalo.

Passo 15

Aplicamos o TVM:

Passo 16

Calculamos e :

Passo 17

Calculamos a média das variações:

Passo 18

Encontramos a derivada de :
Igualamos a derivada ao valor encontrado:

Passo 19

Simplificamos:

Passo 20

Vamos para a parte (d). Precisamos encontrar para no intervalo . Primeiro, verificamos se a função é contínua e derivável nesse intervalo.

Passo 21

A função é contínua e derivável em , já que o denominador nunca é zero nesse intervalo.

Passo 22

Aplicamos o TVM:

Passo 23

Calculamos e :

Passo 24

Calculamos a média das variações:

Passo 25

Encontramos a derivada de :
Usando a regra do quociente:
Igualamos a derivada ao valor encontrado:

Passo 26

Resolvemos para :
Como estamos no intervalo :
Portanto,

Passo 27

Por fim, na parte (e), temos no intervalo . Primeiro, vamos verificar a continuidade e derivabilidade.

Passo 28

A função é definida apenas quando , ou seja, . No intervalo , ela é contínua e derivável.

Passo 29

Aplicamos o TVM:

Passo 30

Calculamos e :

Passo 31

Calculamos a média das variações:

Passo 32

Encontramos a derivada de :
Usando a regra da cadeia:
Igualamos a derivada ao valor encontrado:
Multiplicamos ambos os lados por :
Simplificamos:
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicamos ambos os lados por 49:
Somamos aos dois lados:
Verificamos quais valores estão no intervalo :
Ambos estão dentro.

Resposta

Encontramos os valores de que satisfazem o Teorema do Valor Médio para cada função no respectivo intervalo:
  • (a)
  • (b)
  • © e
  • (d)
  • (e) e

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