Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos começar com a parte (a). O enunciado pede para encontrar o número
que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo
. O Teorema do Valor Médio (TVM) afirma que se a função é contínua no intervalo fechado e derivável no intervalo aberto, então existe pelo menos um ponto
onde a derivada é igual à média das variações da função no intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
atende aos requisitos do TVM. Ela é um polinômio, portanto é contínua e derivável em todo o seu domínio, incluindo o intervalo
.
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula do TVM:
onde
e
.
Passo 4
Calculamos
e
:
Passo 5
Calculamos a média das variações:
Passo 6
Calculamos a derivada de
:
Igualamos a derivada ao valor encontrado:
Passo 7
Resolvemos para
:
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos encontrar o número
que satisfaz o TVM para a função
no intervalo
. Novamente, confirmamos que a função é contínua e derivável no intervalo.
Passo 9
Aplicamos a fórmula do TVM:
Passo 10
Calculamos
e
:
Passo 11
Calculamos a média das variações:
Passo 12
Encontramos a derivada de
:
Igualamos a derivada ao valor encontrado:
Passo 13
Resolvemos para
:
Passo 14
Passando para a parte ©, temos a função
no intervalo
. Primeiro, confirmamos que a função é contínua e derivável nesse intervalo.
Passo 15
Aplicamos o TVM:
Passo 16
Calculamos
e
:
Passo 17
Calculamos a média das variações:
Passo 18
Encontramos a derivada de
:
Igualamos a derivada ao valor encontrado:
Passo 19
Simplificamos:
Passo 20
Vamos para a parte (d). Precisamos encontrar
para
no intervalo
. Primeiro, verificamos se a função é contínua e derivável nesse intervalo.
Passo 21
A função
é contínua e derivável em
, já que o denominador
nunca é zero nesse intervalo.
Passo 22
Aplicamos o TVM:
Passo 23
Calculamos
e
:
Passo 24
Calculamos a média das variações:
Passo 25
Encontramos a derivada de
:
Usando a regra do quociente:
Usando a regra do quociente:
Igualamos a derivada ao valor encontrado:
Passo 26
Resolvemos para
:
Como estamos no intervalo
:
Portanto,
Passo 27
Por fim, na parte (e), temos
no intervalo
. Primeiro, vamos verificar a continuidade e derivabilidade.
Passo 28
A função
é definida apenas quando
, ou seja,
. No intervalo
, ela é contínua e derivável.
Passo 29
Aplicamos o TVM:
Passo 30
Calculamos
e
:
Passo 31
Calculamos a média das variações:
Passo 32
Encontramos a derivada de
:
Usando a regra da cadeia:
Usando a regra da cadeia:
Igualamos a derivada ao valor encontrado:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Simplificamos:
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicamos ambos os lados por 49:
Somamos
aos dois lados:
Verificamos quais valores estão no intervalo
:
Ambos estão dentro.
Ambos estão dentro.
Resposta
Encontramos os valores de
que satisfazem o Teorema do Valor Médio para cada função no respectivo intervalo:
- (a)
- (b)
- ©
e - (d)
- (e)
e