Considere a função .
(a) Obtenha a série de Taylor de em torno de , bem como o raio de convergência dessa série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma série infinita e precisamos encontrar a série de Taylor da derivada dessa função em torno de . Além disso, precisamos descobrir qual é o raio de convergência dessa nova série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências, derivação de séries e o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a série de Taylor de uma função em torno de um ponto é uma expansão em potências de . No nosso caso, já temos a função escrita como uma série em potências de . A nossa tarefa é encontrar a derivada dessa função, , e expressá-la também como uma série de Taylor em torno de .

Passo 3

Vamos diferenciar a função termo a termo. A regra de derivação diz que podemos derivar cada termo da série individualmente. A função dada é:
Derivando cada termo em relação a :

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada. Podemos reescrever como um fator que multiplica nossa série:
Para facilitar a identificação da série de Taylor, podemos ajustar o índice da soma. Vamos trocar por para simplificar:

Passo 5

Vamos reescrever a potência de para deixar a série na forma padrão de Taylor. Notamos que , então podemos reindexar a série substituindo por :
Simplificando os índices, temos:

Passo 6

Podemos agora identificar a série de Taylor de em torno de :

Passo 7

Para encontrar o raio de convergência dessa série, vamos aplicar o teste da razão. Consideramos a expressão geral do termo :
Aplicando o teste da razão:
Simplificando:
Para que a série convirja, :
Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é .

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Considere a função , com em .
(a) Obtenha o polinômio de Taylor de em .
Considere a função , com em .
(d) Obtenha a integral como a soma de uma série numérica alternada convergente.
Considere a função , com em .
© Obtenha a série de Taylor da integral indefinida de .
Considere a função , com em .
(b) Obtenha a derivada de em .