Considere a função f(x)=sumk=0^infty (-1)^k10^k k!(x-6)^2 k+3, forall x in R.
(a) Obtenha a série de Taylor de f^prime(x) em torno de x=6, bem como o raio de convergência dessa série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma série infinita e precisamos encontrar a série de Taylor da derivada dessa função em torno de . Além disso, precisamos descobrir qual é o raio de convergência dessa nova série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências, derivação de séries e o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a série de Taylor de uma função em torno de um ponto é uma expansão em potências de . No nosso caso, já temos a função escrita como uma série em potências de . A nossa tarefa é encontrar a derivada dessa função, , e expressá-la também como uma série de Taylor em torno de .

Passo 3

Vamos diferenciar a função f(x) = sumk=0^infty (-1)^k10^k , k! (x - 6)^2k + 3 termo a termo. A regra de derivação diz que podemos derivar cada termo da série individualmente. A função dada é:
f'(x) = sumk=0^infty (-1)^k10^k , k! cdot (2k + 3) (x - 6)^2k + 2
Derivando cada termo em relação a :

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada. Podemos reescrever f'(x) = sumk=0^infty (-1)^k (2k + 3)10^k , k! (x - 6)^2k + 2 como um fator que multiplica nossa série:
f'(x) = sumn=0^infty (-1)^n (2n + 3)10^n , n! (x - 6)^2n + 2
Para facilitar a identificação da série de Taylor, podemos ajustar o índice da soma. Vamos trocar por para simplificar:

Passo 5

Vamos reescrever a potência de f'(x) = summ=1^infty (-1)^m-1 (2(m-1) + 3)10^m-1 , (m-1)! (x - 6)^2m para deixar a série na forma padrão de Taylor. Notamos que f'(x) = summ=0^infty (-1)^m (2m + 3)10^m , m! (x - 6)^2m + 2 , então podemos reindexar a série substituindo por :
Simplificando os índices, temos:

Passo 6

Podemos agora identificar a série de Taylor de f'(x) = sumk=0^infty (-1)^k (2k + 3)10^k , k! (x - 6)^2k + 2 em torno de :

Passo 7

Para encontrar o raio de convergência dessa série, vamos aplicar o teste da razão. Consideramos a expressão geral do termo ak = (-1)^k (2k + 3)10^k , k! (x - 6)^2k + 2 :
L = limk to infty | ak+1ak | = limk to infty | (2(k+1) + 3)10^k+1 , (k+1)! (x - 6)^2(k+1) + 2 cdot 10^k , k!(2k + 3) (x - 6)^-(2k + 2) |
Aplicando o teste da razão:
L = limk to infty | 2k + 510 (k + 1) (x - 6)^2 | = limk to infty | 2k + 510k + 10 | |x - 6|^2 = 210 |x - 6|^2 = 15 |x - 6|^2
Simplificando:
15 |x - 6|^2 < 1 Rightarrow |x - 6|^2 < 5 Rightarrow |x - 6| < raiz5
Para que a série convirja, :
Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

A série de Taylor de f'(x) = sumk=0^infty (-1)^k (2k + 3)10^k , k! (x - 6)^2k + 2 em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é .

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