Considere a função .
(a) Obtenha a série de Taylor de em torno de , bem como o raio de convergência dessa série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma série infinita e precisamos encontrar a série de Taylor da derivada dessa função em torno de . Além disso, precisamos descobrir qual é o raio de convergência dessa nova série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências, derivação de séries e o teste da razão para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a série de Taylor de uma função em torno de um ponto é uma expansão em potências de . No nosso caso, já temos a função escrita como uma série em potências de . A nossa tarefa é encontrar a derivada dessa função, , e expressá-la também como uma série de Taylor em torno de .
Passo 3
Vamos diferenciar a função termo a termo. A regra de derivação diz que podemos derivar cada termo da série individualmente. A função dada é:
Derivando cada termo em relação a :
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão da derivada. Podemos reescrever como um fator que multiplica nossa série:
Para facilitar a identificação da série de Taylor, podemos ajustar o índice da soma. Vamos trocar por para simplificar:
Passo 5
Vamos reescrever a potência de para deixar a série na forma padrão de Taylor. Notamos que , então podemos reindexar a série substituindo por :
Simplificando os índices, temos:
Passo 6
Podemos agora identificar a série de Taylor de em torno de :
Passo 7
Para encontrar o raio de convergência dessa série, vamos aplicar o teste da razão. Consideramos a expressão geral do termo :