Considere a função , com em .
(d) Obtenha a integral como a soma de uma série numérica alternada convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral , onde a função é dada por uma série infinita:
Aqui, estamos lidando com séries de potências e integração. Para resolver, vamos precisar saber como integrar séries termo a termo, desde que a série convirja de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que podemos trocar a ordem da integral e da soma se a série converge de forma uniforme no intervalo de integração. Isso nos permite integrar cada termo da série separadamente. Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de cada termo da série. A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração. Como vamos avaliar de 2 a 3, a constante desaparece.

Passo 4

Vamos substituir os limites na integral que encontramos:
Então, cada termo da série integrada fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão obtida:

Resposta

Assim, a integral pode ser expressa como a seguinte série numérica alternada convergente:

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Considere a função .
(b) Calcule o valor das derivadas e .
Considere a função definida por
(a) Obtenha uma série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.
Considere a função , com em .
(a) Obtenha o polinômio de Taylor de em .
Considere a função .
(a) Obtenha a série de Taylor de em torno de , bem como o raio de convergência dessa série.