Considere a função f(x)=sumk=0^infty (-1)^k4^2 k(2 k+1)(x-2)^4 k+3, com x em (0,4).
(d) Obtenha a integral I=integral2^3 f(x) d x como a soma de uma série numérica alternada convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral f(x) = sumk=0^infty (-1)^k4^2k(2k+1)(x-2)^4k+3 , onde a função é dada por uma série infinita:
Aqui, estamos lidando com séries de potências e integração. Para resolver, vamos precisar saber como integrar séries termo a termo, desde que a série convirja de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que podemos trocar a ordem da integral e da soma se a série converge de forma uniforme no intervalo de integração. Isso nos permite integrar cada termo da série separadamente. Então, a integral fica:
I = integral2^3 sumk=0^infty (-1)^k4^2k(2k+1)(x-2)^4k+3 , dx = sumk=0^infty (-1)^k4^2k(2k+1) integral2^3 (x-2)^4k+3 , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de cada termo da série. A integral de integral (x-2)^4k+3 , dx = (x-2)^4k+44k+4 + C em relação a é:
onde é a constante de integração. Como vamos avaliar de 2 a 3, a constante desaparece.

Passo 4

Vamos substituir os limites na integral que encontramos:
(x-2)^4k+44k+4 |2^3 = (3-2)^4k+44k+4 - (2-2)^4k+44k+4 = 1^4k+44k+4 - 0 = 14k+4
Então, cada termo da série integrada fica:
(-1)^k4^2k(2k+1) cdot 14k+4

Passo 5

Vamos simplificar a expressão obtida:
(-1)^k4^2k(2k+1)(4k+4) = (-1)^k4^2k cdot (2k+1) cdot 4(k+1) = (-1)^k4^2k+1 cdot (2k+1)(k+1)

Resposta

Assim, a integral I = sumk=0^infty (-1)^k4^2k+1 cdot (2k+1)(k+1) pode ser expressa como a seguinte série numérica alternada convergente:

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