Considere a função , com em .
(d) Obtenha a integral como a soma de uma série numérica alternada convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral , onde a função é dada por uma série infinita:
Aqui, estamos lidando com séries de potências e integração. Para resolver, vamos precisar saber como integrar séries termo a termo, desde que a série convirja de forma adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que podemos trocar a ordem da integral e da soma se a série converge de forma uniforme no intervalo de integração. Isso nos permite integrar cada termo da série separadamente. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de cada termo da série. A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração. Como vamos avaliar de 2 a 3, a constante desaparece.
Passo 4
Vamos substituir os limites na integral que encontramos:
Então, cada termo da série integrada fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão obtida:
Resposta
Assim, a integral pode ser expressa como a seguinte série numérica alternada convergente: