Considere a função f(x)=sumk=0^infty (-1)^k4^2 k(2 k+1)(x-2)^4 k+3, com x em (0,4).
© Obtenha a série de Taylor da integral indefinida integral f(x) d x de f(x) em x=2.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função representada por uma série infinita, centrada em . O enunciado pede para a gente encontrar a série de Taylor da integral indefinida dessa função, ou seja, , também centrada em . Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar séries de potências termo a termo e entender um pouco sobre séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a função f(x) = sumk=0^infty (-1)^k4^2k(2k+1)(x-2)^4k+3 :
Isso significa que é a soma de vários termos, cada um envolvendo uma potência de .

Passo 3

Agora, queremos integrar essa função. A boa notícia é que a gente pode integrar série por série, ou seja, integrar cada termo da soma individualmente. Então, vamos calcular a integral de cada termo:
integral f(x) , dx = integral sumk=0^infty (-1)^k4^2k(2k+1)(x-2)^4k+3 , dx = sumk=0^infty (-1)^k4^2k(2k+1) integral (x-2)^4k+3 , dx

Passo 4

Vamos agora integrar integral (x-2)^4k+3 , dx = (x-2)^4k+44k+4 + C . A antiderivada de é . Aplicando isso:
Como estamos trabalhando com uma integral indefinida, podemos ignorar a constante de integração para cada termo da série.

Passo 5

Substituindo de volta na nossa série, temos:
integral f(x) , dx = sumk=0^infty (-1)^k4^2k(2k+1) cdot (x-2)^4k+44k+4
Vamos simplificar um pouco os coeficientes:
14^2k cdot 4k+4 = 14^2k cdot 4(k+1) = 14^2k+1 (k+1)
Então, a série fica:
integral f(x) , dx = sumk=0^infty (-1)^k4^2k+1(2k+1)(k+1)(x-2)^4k+4

Resposta

A série de Taylor da integral indefinida integral f(x) , dx = sumk=0^infty (-1)^k4^2k+1(2k+1)(k+1)(x-2)^4k+4 + C centrada em é:
Onde é a constante de integração.

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