Considere a função , com em .
© Obtenha a série de Taylor da integral indefinida de .

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função representada por uma série infinita, centrada em . O enunciado pede para a gente encontrar a série de Taylor da integral indefinida dessa função, ou seja, , também centrada em . Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar séries de potências termo a termo e entender um pouco sobre séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a função :
Isso significa que é a soma de vários termos, cada um envolvendo uma potência de .

Passo 3

Agora, queremos integrar essa função. A boa notícia é que a gente pode integrar série por série, ou seja, integrar cada termo da soma individualmente. Então, vamos calcular a integral de cada termo:

Passo 4

Vamos agora integrar . A antiderivada de é . Aplicando isso:
Como estamos trabalhando com uma integral indefinida, podemos ignorar a constante de integração para cada termo da série.

Passo 5

Substituindo de volta na nossa série, temos:
Vamos simplificar um pouco os coeficientes:
Então, a série fica:

Resposta

A série de Taylor da integral indefinida centrada em é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Considere a função .
(a) Obtenha a série de Taylor de em torno de , bem como o raio de convergência dessa série.
Considere a função , com em .
(a) Obtenha o polinômio de Taylor de em .
Considere a função , com em .
(b) Obtenha a derivada de em .
Em cada item marque com um a alternativa correta, em que V indica verdadeiro e F indica falso.
(b) Se a série é condicionalmente convergente, então converge.