Considere a função
, com
em
.
© Obtenha a série de Taylor da integral indefinida
de
.
© Obtenha a série de Taylor da integral indefinida
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma função
representada por uma série infinita, centrada em
. O enunciado pede para a gente encontrar a série de Taylor da integral indefinida dessa função, ou seja,
, também centrada em
. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar séries de potências termo a termo e entender um pouco sobre séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como é a função
:
Isso significa que
é a soma de vários termos, cada um envolvendo uma potência de
.
Passo 3
Agora, queremos integrar essa função. A boa notícia é que a gente pode integrar série por série, ou seja, integrar cada termo da soma individualmente. Então, vamos calcular a integral de cada termo:
Passo 4
Vamos agora integrar
. A antiderivada de
é
. Aplicando isso:
Como estamos trabalhando com uma integral indefinida, podemos ignorar a constante de integração
para cada termo da série.
Passo 5
Substituindo de volta na nossa série, temos:
Vamos simplificar um pouco os coeficientes:
Então, a série fica:
Resposta
A série de Taylor da integral indefinida
centrada em
é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Considere a função
.
(a) Obtenha a série de Taylor de em torno de
, bem como o raio de convergência dessa série.
(a) Obtenha a série de Taylor de
Considere a função
, com
em
.
(a) Obtenha o polinômio de Taylor de
em
.
(a) Obtenha o
Considere a função
, com
em
.
(b) Obtenha a derivada de
em
.
(b) Obtenha a derivada
Em cada item marque com um
a alternativa correta, em que V indica verdadeiro e F indica falso.
(b) Se a série é condicionalmente convergente, então
converge.
(b) Se a série