Considere a função , com em .
(a) Obtenha o polinômio de Taylor de em .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função definida por uma série e o objetivo é encontrar o polinômio de Taylor de grau 15 dessa função em . Isso envolve usar a série de Taylor para aproximar próximo a esse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de grau 15 vai incluir todos os termos da série que têm potências de até a 15ª. A função dada já está expressa em termos de , então nossa missão é pegar os primeiros termos que não passam de .

Passo 3

Olhemos a expressão da função:
Aqui, cada termo da série tem a potência . Queremos incluir termos até . Vamos ver para quais valores de isso acontece.

Passo 4

Vamos calcular as potências para diferentes valores de até chegar em 15:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Pronto, para até , temos as potências necessárias.

Passo 5

Agora, vamos escrever cada termo correspondente:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Finalmente, juntando todos esses termos, o polinômio de Taylor de grau 15 de em fica:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 15 de em é:

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Considere a função , com em .
(d) Obtenha a integral como a soma de uma série numérica alternada convergente.
Considere a função .
(b) Calcule o valor das derivadas e .
Considere a função .
(a) Obtenha a série de Taylor de em torno de , bem como o raio de convergência dessa série.
Considere a função , com em .
© Obtenha a série de Taylor da integral indefinida de .