Considere a função f(x)=sumk=0^infty (-1)^k4^2 k(2 k+1)(x-2)^4 k+3, com x em (0,4).
(a) Obtenha o 15^circ polinômio de Taylor de f(x) em x=2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função f(x) definida por uma série e o objetivo é encontrar o polinômio de Taylor de grau 15 dessa função em x=2. Isso envolve usar a série de Taylor para aproximar f(x) próximo a esse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de grau 15 vai incluir todos os termos da série que têm potências de (x-2) até a 15ª. A função dada já está expressa em termos de (x-2), então nossa missão é pegar os primeiros termos que não passam de (x-2)^15.

Passo 3

Olhemos a expressão da função:
f(x) = sumk=0^infty (-1)^k4^2k(2k+1)(x-2)^4k+3
Aqui, cada termo da série tem a potência (x-2)^4k+3. Queremos incluir termos até (x-2)^15. Vamos ver para quais valores de k isso acontece.

Passo 4

Vamos calcular as potências para diferentes valores de k até chegar em 15:
  • Para k=0: (x-2)^4(0)+3 = (x-2)^3
  • Para k=1: (x-2)^4(1)+3 = (x-2)^7
  • Para k=2: (x-2)^4(2)+3 = (x-2)^11
  • Para k=3: (x-2)^4(3)+3 = (x-2)^15
Pronto, para k=0 até k=3, temos as potências necessárias.

Passo 5

Agora, vamos escrever cada termo correspondente:
  • Para k=0:
(-1)^04^2(0)(2(0)+1)(x-2)^3 = 11 cdot 1(x-2)^3 = (x-2)^3
  • Para k=1:
(-1)^14^2(1)(2(1)+1)(x-2)^7 = -116 cdot 3(x-2)^7 = -148(x-2)^7
  • Para k=2:
(-1)^24^2(2)(2(2)+1)(x-2)^11 = 1256 cdot 5(x-2)^11 = 11280(x-2)^11
  • Para k=3:
(-1)^34^2(3)(2(3)+1)(x-2)^15 = -14096 cdot 7(x-2)^15 = -128672(x-2)^15

Passo 6

Finalmente, juntando todos esses termos, o polinômio de Taylor de grau 15 de f(x) em x=2 fica:
P15(x) = (x-2)^3 - 148(x-2)^7 + 11280(x-2)^11 - 128672(x-2)^15

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 15 de f(x) em x=2 é:
P15(x) = (x-2)^3 - 148(x-2)^7 + 11280(x-2)^11 - 128672(x-2)^15

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