Considere a função
, com
em
.
(a) Obtenha o
polinômio de Taylor de
em
.
(a) Obtenha o
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função
definida por uma série e o objetivo é encontrar o polinômio de Taylor de grau 15 dessa função em
. Isso envolve usar a série de Taylor para aproximar
próximo a esse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de grau 15 vai incluir todos os termos da série que têm potências de
até a 15ª. A função dada já está expressa em termos de
, então nossa missão é pegar os primeiros termos que não passam de
.
Passo 3
Olhemos a expressão da função:
Aqui, cada termo da série tem a potência
. Queremos incluir termos até
. Vamos ver para quais valores de
isso acontece.
Passo 4
Vamos calcular as potências para diferentes valores de
até chegar em 15:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Pronto, para
até
, temos as potências necessárias.
Passo 5
Agora, vamos escrever cada termo correspondente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Finalmente, juntando todos esses termos, o polinômio de Taylor de grau 15 de
em
fica:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 15 de
em
é:
Exercícios relacionados
Considere a função
, com
em
.
(d) Obtenha a integral como a soma de uma série numérica alternada convergente.
(d) Obtenha a integral
Considere a função
.
(b) Calcule o valor das derivadas e
.
(b) Calcule o valor das derivadas
Considere a função
.
(a) Obtenha a série de Taylor de em torno de
, bem como o raio de convergência dessa série.
(a) Obtenha a série de Taylor de
Considere a função
, com
em
.
© Obtenha a série de Taylor da integral indefinida de
.
© Obtenha a série de Taylor da integral indefinida