Considere a função .
(b) Calcule o valor das derivadas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular as derivadas de ordem 32 e 41 da função no ponto . Vamos usar conceitos de séries de potências e derivadas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos. A função é uma série de potências centrada em , ou seja, é uma soma infinita de termos da forma , onde e .

Passo 3

Quando precisamos calcular a derivada de uma certa ordem de uma série de potências, a regra geral é que a derivada de ordem de é dada por:
No nosso caso, queremos avaliar no ponto . Observando a fórmula, se , teremos , e as derivadas de ordem maior que serão zero porque será elevado a um expoente negativo, que desaparece quando avaliamos em .

Passo 4

Vamos aplicar isso para . Aqui, . Precisamos encontrar termos da série onde :
Como precisa ser um número inteiro (porque é o índice da soma), não existe nenhum que satisfaça essa equação. Portanto, não há termo na série que contribua para a derivada de ordem 32, o que significa que:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Aqui, . Vamos encontrar tal que :
Agora, temos um que satisfaz a equação. Vamos calcular a derivada correspondente:
Isso ocorre porque, ao derivar , obtemos vezes a constante .

Resposta

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Considere a função definida por
(a) Obtenha uma série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.
Observe que e lembre que , para .
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.
Considere a função , com em .
(d) Obtenha a integral como a soma de uma série numérica alternada convergente.
Considere a função , com em .
(a) Obtenha o polinômio de Taylor de em .