Considere a função f(x)=sumk=0^infty (-1)^k10^k k!(x-6)^2 k+3, forall x in R.
(b) Calcule o valor das derivadas f^(32)(6) e f^(41)(6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular as derivadas de ordem 32 e 41 da função no ponto . Vamos usar conceitos de séries de potências e derivadas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos. A função é uma série de potências centrada em , ou seja, é uma soma infinita de termos da forma , onde e .

Passo 3

Quando precisamos calcular a derivada de uma certa ordem de uma série de potências, a regra geral é que a derivada de ordem d^mdx^m (x - a)^n = n!(n - m)! (x - a)^n - m, & se n >= m 0, & se n < m de é dada por:
No nosso caso, queremos avaliar no ponto . Observando a fórmula, se , teremos , e as derivadas de ordem maior que serão zero porque será elevado a um expoente negativo, que desaparece quando avaliamos em .

Passo 4

Vamos aplicar isso para 2k + 3 = 32 2k = 29 k = 14.5 . Aqui, f^(32)(6) = 0 . Precisamos encontrar termos da série onde :
Como precisa ser um número inteiro (porque é o índice da soma), não existe nenhum que satisfaça essa equação. Portanto, não há termo na série que contribua para a derivada de ordem 32, o que significa que:

Passo 5

Agora, vamos calcular 2k + 3 = 41 2k = 38 k = 19 . Aqui, f^(41)(6) = (-1)^1910^19 cdot 19! cdot 41! . Vamos encontrar tal que :
Agora, temos um que satisfaz a equação. Vamos calcular a derivada correspondente:
Isso ocorre porque, ao derivar , obtemos vezes a constante .

Resposta

f^(32)(6) = 0
f^(41)(6) = (-1)^19 cdot 41!10^19 cdot 19!

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