Considere a função
.
(b) Calcule o valor das derivadas
e
.
(b) Calcule o valor das derivadas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular as derivadas de ordem 32 e 41 da função
no ponto
. Vamos usar conceitos de séries de potências e derivadas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos. A função
é uma série de potências centrada em
, ou seja, é uma soma infinita de termos da forma
, onde
e
.
Passo 3
Quando precisamos calcular a derivada de uma certa ordem de uma série de potências, a regra geral é que a derivada de ordem
de
é dada por:
No nosso caso, queremos avaliar no ponto
. Observando a fórmula, se
, teremos
, e as derivadas de ordem maior que
serão zero porque
será elevado a um expoente negativo, que desaparece quando avaliamos em
.
Passo 4
Vamos aplicar isso para
. Aqui,
. Precisamos encontrar termos da série onde
:
Como
precisa ser um número inteiro (porque é o índice da soma), não existe nenhum
que satisfaça essa equação. Portanto, não há termo na série que contribua para a derivada de ordem 32, o que significa que:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Aqui,
. Vamos encontrar
tal que
:
Agora, temos um
que satisfaz a equação. Vamos calcular a derivada correspondente:
Isso ocorre porque, ao derivar
, obtemos
vezes a constante
.
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a função
definida por
(a) Obtenha uma série de potências para a função
e determine o seu intervalo de convergência.
Observe que
e lembre que
, para
.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função
Considere a função
, com
em
.
(d) Obtenha a integral como a soma de uma série numérica alternada convergente.
(d) Obtenha a integral
Considere a função
, com
em
.
(a) Obtenha o polinômio de Taylor de
em
.
(a) Obtenha o