Considere a função definida por
(a) Obtenha uma série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar algumas técnicas de séries e logaritmos. Precisaremos lembrar como expandir o logaritmo natural em série de potências e aplicar isso na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então, nossa função fica:
Agora, precisamos lembrar da expansão em série de potências do logaritmo natural. Sabemos que:
Nesse caso, , então a condição de convergência passa a ser , ou seja, .

Passo 3

Substituindo na série do logaritmo, temos:
Multiplicando por para obter :
Podemos reescrever essa série ajustando o índice para facilitar a visualização:

Passo 4

Então, a série de potências para é:
Quanto ao intervalo de convergência, já estabelecemos que a partir da condição usada na expansão do logaritmo.

Resposta

A série de potências para a função é
e o intervalo de convergência dessa série é .

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Observe que e lembre que , para .
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.
Lembre que sen , qualquer que seja .
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.
Considere a função .
(b) Calcule o valor das derivadas e .
Considere a função , com em .
(d) Obtenha a integral como a soma de uma série numérica alternada convergente.