Considere a função
definida por
(a) Obtenha uma série de potências para a função
e determine o seu intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma série de potências para a função
e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar algumas técnicas de séries e logaritmos. Precisaremos lembrar como expandir o logaritmo natural em série de potências e aplicar isso na função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então, nossa função
fica:
Agora, precisamos lembrar da expansão em série de potências do logaritmo natural. Sabemos que:
Nesse caso,
, então a condição de convergência passa a ser
, ou seja,
.
Passo 3
Substituindo
na série do logaritmo, temos:
Multiplicando por
para obter
:
Podemos reescrever essa série ajustando o índice para facilitar a visualização:
Passo 4
Então, a série de potências para
é:
Quanto ao intervalo de convergência, já estabelecemos que
a partir da condição
usada na expansão do logaritmo.
Resposta
A série de potências para a função
é
e o intervalo de convergência dessa série é
.