Considere a função f:(0, infty) R definida por
f(x)=integral0^x t ln (11+2 t) d t
(a) Obtenha uma série de potências para a função g(x)=x ln (11+2 x) e determine o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar algumas técnicas de séries e logaritmos. Precisaremos lembrar como expandir o logaritmo natural em série de potências e aplicar isso na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
ln(11+2x) = -ln(1 + 2x)
Então, nossa função g(x) = -x ln(1 + 2x) fica:
ln(1 + u) = sumn=1^infty (-1)^n+1 u^nn, para |u| < 1
Agora, precisamos lembrar da expansão em série de potências do logaritmo natural. Sabemos que:
Nesse caso, , então a condição de convergência passa a ser , ou seja, .

Passo 3

Substituindo ln(1 + 2x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 (2x)^nn na série do logaritmo, temos:
g(x) = -x sumn=1^infty (-1)^n+1 (2x)^nn = sumn=1^infty (-1)^n (2)^n x^n+1n
Multiplicando por g(x) = sumn=1^infty (-2)^n x^n+1n para obter :
Podemos reescrever essa série ajustando o índice para facilitar a visualização:

Passo 4

Então, a série de potências para g(x) = sumn=1^infty (-2)^n x^n+1n é:
Quanto ao intervalo de convergência, já estabelecemos que a partir da condição usada na expansão do logaritmo.

Resposta

A série de potências para a função g(x) = sumn=1^infty (-2)^n x^n+1n é
e o intervalo de convergência dessa série é .

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