Considere a função
definida por
(a) Obtenha uma série de potências para a função
e determine o seu intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma série de potências para a função
e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar algumas técnicas de séries e logaritmos. Precisaremos lembrar como expandir o logaritmo natural em série de potências e aplicar isso na função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então, nossa função
fica:
Agora, precisamos lembrar da expansão em série de potências do logaritmo natural. Sabemos que:
Nesse caso,
, então a condição de convergência passa a ser
, ou seja,
.
Passo 3
Substituindo
na série do logaritmo, temos:
Multiplicando por
para obter
:
Podemos reescrever essa série ajustando o índice para facilitar a visualização:
Passo 4
Então, a série de potências para
é:
Quanto ao intervalo de convergência, já estabelecemos que
a partir da condição
usada na expansão do logaritmo.
Resposta
A série de potências para a função
é
e o intervalo de convergência dessa série é
.
Exercícios relacionados
Observe que
e lembre que
, para
.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função
Lembre que sen
, qualquer que seja
.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função
Considere a função
.
(b) Calcule o valor das derivadas e
.
(b) Calcule o valor das derivadas
Considere a função
, com
em
.
(d) Obtenha a integral como a soma de uma série numérica alternada convergente.
(d) Obtenha a integral