a) Considere a função e então ESBOCE seu gráfico numa vizinhança de e descreva seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente considerar a função . A gente precisa desenhar o gráfico dessa função perto de e também dizer qual é o domínio dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e suas propriedades de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é uma soma infinita onde cada termo é . Isso é uma série de potências, e pra analisar como ela se comporta, especialmente perto de , podemos avaliar alguns termos iniciais.

Passo 3

Vamos calcular alguns termos da série para próximo de 0. Por exemplo:
Isso nos mostra que quando está perto de 0, os termos posteriores ficam bem pequenos e a função converge rapidamente para 1.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o domínio da função, ou seja, para quais valores de a série converge. Para isso, usamos o critério da razão. Vamos analisar o limite:
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Então, o domínio da função é .

Passo 5

Por último, vamos esboçar o gráfico perto de . Sabemos que quando , . E à medida que se aproxima de 0, a função se comporta como uma constante com pequenas variações. Portanto, o gráfico vai passar por (0,1) e vai ter uma inclinação suave perto desse ponto.

Resposta

O gráfico de próximo a passa por (0,1) e varia suavemente conforme se aproxima de 0, mantendo-se próxima de 1. O domínio da função é .

Exercícios relacionados

Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
c)
Verifique que as séries abaixo convergem absolutamente nos intervalos dados:
c) em .
Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
e) .
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
c)