a) Considere a função f(x)=sumn=1^infty x^n-1n^3 e então ESBOCE seu gráfico numa vizinhança de x0=0 e descreva seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente considerar a função . A gente precisa desenhar o gráfico dessa função perto de e também dizer qual é o domínio dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e suas propriedades de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é uma soma infinita onde cada termo é . Isso é uma série de potências, e pra analisar como ela se comporta, especialmente perto de , podemos avaliar alguns termos iniciais.

Passo 3

Vamos calcular alguns termos da série para f(x) = x^01^3 + x^12^3 + x^23^3 + x^34^3 + dots = 1 + x8 + x^227 + x^364 + dots próximo de 0. Por exemplo:
Isso nos mostra que quando está perto de 0, os termos posteriores ficam bem pequenos e a função converge rapidamente para 1.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o domínio da função, ou seja, para quais valores de limn to infty | x^n(n+1)^3x^n-1n^3 | = limn to infty | x cdot n^3(n+1)^3 | = |x| cdot limn to infty ( nn+1 )^3 = |x| a série converge. Para isso, usamos o critério da razão. Vamos analisar o limite:
|x| < 1
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Então, o domínio da função é .

Passo 5

Por último, vamos esboçar o gráfico perto de . Sabemos que quando , . E à medida que se aproxima de 0, a função se comporta como uma constante com pequenas variações. Portanto, o gráfico vai passar por (0,1) e vai ter uma inclinação suave perto desse ponto.

Resposta

O gráfico de próximo a passa por (0,1) e varia suavemente conforme se aproxima de 0, mantendo-se próxima de 1. O domínio da função é .

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