II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de encontrar a série de Maclaurin para a função e determinar o raio de convergência dela. Para isso, vamos usar o conceito de séries de Maclaurin, que são séries de potências centradas em zero, e também vamos precisar entender como funciona o raio de convergência, que nos diz até onde a série é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de Maclaurin para a função , que é uma série geométrica. A fórmula geral é:
Essa série converge quando .

Passo 3

Agora, observamos que a nossa função pode ser reescrita como . Assim, podemos aplicar a série geométrica substituindo por :

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essa série por para obter a série de Maclaurin para :

Passo 5

Para determinar o raio de convergência, usamos a condição da série geométrica . No nosso caso, , então:
Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de Maclaurin de é
e seu raio de convergência é .

Exercícios relacionados

Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
e) .
a) Considere a função e então ESBOCE seu gráfico numa vizinhança de e descreva seu domínio.
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
r)
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
c) .