II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
c) f(x) = x^2 / (1 + x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de encontrar a série de Maclaurin para a função e determinar o raio de convergência dela. Para isso, vamos usar o conceito de séries de Maclaurin, que são séries de potências centradas em zero, e também vamos precisar entender como funciona o raio de convergência, que nos diz até onde a série é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de Maclaurin para a função , que é uma série geométrica. A fórmula geral é:
Essa série converge quando .

Passo 3

Agora, observamos que a nossa função pode ser reescrita como . Assim, podemos aplicar a série geométrica substituindo por :

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essa série por para obter a série de Maclaurin para :

Passo 5

Para determinar o raio de convergência, usamos a condição da série geométrica . No nosso caso, , então:
Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de Maclaurin de é
e seu raio de convergência é .

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