II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão de encontrar a série de Maclaurin para a função
e determinar o raio de convergência dela. Para isso, vamos usar o conceito de séries de Maclaurin, que são séries de potências centradas em zero, e também vamos precisar entender como funciona o raio de convergência, que nos diz até onde a série é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de Maclaurin para a função
, que é uma série geométrica. A fórmula geral é:
Essa série converge quando
.
Passo 3
Agora, observamos que a nossa função
pode ser reescrita como
. Assim, podemos aplicar a série geométrica substituindo
por
:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essa série por
para obter a série de Maclaurin para
:
Passo 5
Para determinar o raio de convergência, usamos a condição da série geométrica
. No nosso caso,
, então:
Portanto, o raio de convergência é 1.
Resposta
A série de Maclaurin de
é
e seu raio de convergência é
.