Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos de convergência da série e descobrir em qual valor ela está centralizada. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para verificar se séries infinitas convergem ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série estar “centralizada”. Uma série de potências geralmente tem a forma , onde é o centro da série. No nosso caso, a expressão dentro da soma é . Para colocar na forma padrão, vamos fatorar o 3:
Isso mostra que o centro da série é .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para determinar os valores de para os quais a série converge. O teste diz que a série converge se:
No nosso caso, . Vamos calcular a razão:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Passo 5
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de :
Subtraindo 6 de todas as partes:
Dividindo por 3:
Resposta
Os intervalos de convergência da série são e ela está centrada em .