Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
c) sumn=1^infty n(3 x+6)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos de convergência da série e descobrir em qual valor ela está centralizada. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para verificar se séries infinitas convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a série estar “centralizada”. Uma série de potências geralmente tem a forma (3x + 6)^n = 3^n (x + 2)^n = [3(x + 2)]^n , onde é o centro da série. No nosso caso, a expressão dentro da soma é . Para colocar na forma padrão, vamos fatorar o 3:
Isso mostra que o centro da série é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para determinar os valores de limn to infty | an+1an | < 1 para os quais a série converge. O teste diz que a série an+1an = (n+1)(3x + 6)^n+1n(3x + 6)^n = n+1n cdot (3x + 6) converge se:
an+1an = (1 + 1n) cdot (3x + 6)
No nosso caso, . Vamos calcular a razão:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | an+1an | = limn to infty | (1 + 1n) cdot (3x + 6) | = |3x + 6| tende ao infinito:
|3x + 6| < 1
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:

Passo 5

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de |3x + 6| < 1 -1 < 3x + 6 < 1 :
-7 < 3x < -5
Subtraindo 6 de todas as partes:
-73 < x < -53
Dividindo por 3:

Resposta

Os intervalos de convergência da série são e ela está centrada em .

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