Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
e)
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a série de Maclaurin da função
e determinar o intervalo de convergência dessa série. Então, estamos lidando com séries de potências, especificamente a série de Maclaurin, que é uma série de Taylor centrada em zero. Para resolver isso, vamos usar a definição da série de Maclaurin e alguns conhecimentos básicos sobre séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. A série de Maclaurin para uma função
é dada por:
Isso significa que expressamos a função como uma soma infinita de termos envolvendo derivadas de
avaliadas em zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Observamos que essa função é semelhante a uma série geométrica. A série geométrica é:
Comparando com nossa função, vemos que
. Portanto, podemos reescrever
como uma série geométrica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para séries geométricas, a condição de convergência é que o valor absoluto da razão
seja menor que 1:
Portanto, a série converge para
quando
está no intervalo aberto entre -1 e 1.
Resposta
A série de Maclaurin para
é:
E o intervalo de convergência é
.