Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
e) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a série de Maclaurin da função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Então, estamos lidando com séries de potências, especificamente a série de Maclaurin, que é uma série de Taylor centrada em zero. Para resolver isso, vamos usar a definição da série de Maclaurin e alguns conhecimentos básicos sobre séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. A série de Maclaurin para uma função é dada por:
Isso significa que expressamos a função como uma soma infinita de termos envolvendo derivadas de avaliadas em zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Observamos que essa função é semelhante a uma série geométrica. A série geométrica é:
Comparando com nossa função, vemos que . Portanto, podemos reescrever como uma série geométrica:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para séries geométricas, a condição de convergência é que o valor absoluto da razão seja menor que 1:
Portanto, a série converge para quando está no intervalo aberto entre -1 e 1.

Resposta

A série de Maclaurin para é:
E o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

a) Considere a função e então ESBOCE seu gráfico numa vizinhança de e descreva seu domínio.
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
c)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
c)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
r)